Álgebra Exemplos

$(\frac{a - 1}{3 a + {(a - 1)}^{2}} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 1}{a - 1}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$(\frac{a - 1}{3 a + {(a - 1)}^{2}} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(a - 1)}^{2}$ como $(a - 1) (a - 1)$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + (a - 1) (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.2

Expanda $(a - 1) (a - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{a - 1}{3 a + a (a - 1) - 1 (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{a - 1}{3 a + a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{a - 1}{3 a + a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - 1 \cdot a - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.3.1.3

Reescreva $- 1 a$ como $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.3.1.4

Reescreva $- 1 a$ como $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.3.2

Subtraia $a$ de $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.1.4

Subtraia $2 a$ de $3 a$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = a$ e $b = 1$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $a$ por $1$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 2.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1}$ por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$(\frac{(a - 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores de $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ .

$(\frac{(a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(\frac{(a - 1) (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Expanda $(a - 1) (a - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{a (a - 1) - 1 (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$(\frac{a^{2} + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $a$ .

$(\frac{a^{2} - 1 \cdot a - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.2.1.3

Reescreva $- 1 a$ como $- a$ .

$(\frac{a^{2} - a - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.2.1.4

Reescreva $- 1 a$ como $- a$ .

$(\frac{a^{2} - a - a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(\frac{a^{2} - a - a + 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $a$ de $- a$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 \cdot 1 - (- 3 a) - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 - (- 3 a) - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 + 3 a - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.5

Subtraia $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$(\frac{- 2 a + 1 - 1 + 3 a + 0}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.6

Some $- 2 a + 1 - 1 + 3 a$ e $0$ .

$(\frac{- 2 a + 1 - 1 + 3 a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.7

Some $- 2 a$ e $3 a$ .

$(\frac{a + 1 - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.8

Subtraia $1$ de $1$ .

$(\frac{a + 0}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 6.9

Some $a$ e $0$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 7

Para escrever $- \frac{1}{a - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1} \cdot \frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{a - 1}$ por $\frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a^{2} + a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{a - (a^{2} + a + 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{a - a^{2} - a - 1 \cdot 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{a - a^{2} - a - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 9.3

Subtraia $a$ de $a$ .

$\frac{- a^{2} + 0 - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 9.4

Some $- a^{2}$ e $0$ .

$\frac{- a^{2} - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 10

Simplifique os termos.

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $a - 1$ .

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Etapa 10.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- a^{2} - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Etapa 10.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- a^{2} - 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{1}{a^{2} + 1}$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{- a^{2} - 1}{a^{2} + a + 1}$ por $\frac{1}{a^{2} + 1}$ .

$\frac{- a^{2} - 1}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $- a^{2} - 1$ e $a^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Fatore $- 1$ de $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Etapa 10.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Etapa 10.3.3

Fatore $- 1$ de $- (a^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Etapa 10.3.4

Reescreva $- (a^{2} + 1)$ como $- 1 (a^{2} + 1)$ .

$\frac{- 1 (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Etapa 10.3.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Etapa 10.3.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{a^{2} + a + 1}$

Etapa 10.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{a^{2} + a + 1}$