Álgebra Exemplos

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Etapa 1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\log (x)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Etapa 1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\log (y)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ por $2$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ por $2$ .

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $\log (x + y)$ .

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Etapa 2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

Etapa 2.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $\log (2)$ .

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique $2 \log (x + y)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ .

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Etapa 4.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique $2 \log (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

Etapa 4.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

Etapa 4.1.4

Mova $4$ para a esquerda de $x y$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

Etapa 5

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1.1

Subtraia $4 x y$ dos dois lados da equação.

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.1

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.2.2

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.2.3.2

Some $x y$ e $y x$ .

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Etapa 6.1.2.3.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.2.3.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Etapa 6.1.3

Subtraia $4 x y$ de $2 x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

Etapa 6.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2 y$ e $c = y^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1.1

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ como ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = - 2 y$ e $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.4.1.3.1

Fatore $2 y$ de $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.3.1.1

Fatore $2 y$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.1.2

Fatore $2 y$ de $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.1.3

Fatore $2 y$ de $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.3.3.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.3.2

Multiplique $0$ por $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.4

Fatore $y$ de $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.3.4.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.4.2

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.4.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.5

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.5.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.6

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.7

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.3.7.1

Multiplique $0$ por $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.3.7.2

Multiplique $0$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.1.6

Mais ou menos $2 y$ $0$ é $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Etapa 6.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 y}{2}$

Etapa 6.4.3.2

Divida $y$ por $1$ .

$x = y$

Etapa 6.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

Raízes duplas de $x = y$