Álgebra Exemplos

$- \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3 < 0$

Etapa 1

Escreva $- \frac{1}{2} \cdot | 4 x - 5 | + 3 < 0$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$4 x - 5 \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $5$ aos dois lados da desigualdade.

$4 x \geq 5$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $4 x \geq 5$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $4 x \geq 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{5}{4}$

Etapa 1.3

Na parte em que $4 x - 5$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$

Etapa 1.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$4 x - 5 < 0$

Etapa 1.5

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Some $5$ aos dois lados da desigualdade.

$4 x < 5$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $4 x < 5$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $4 x < 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Etapa 1.6

Na parte em que $4 x - 5$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$

Etapa 1.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8

Simplifique $- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.1.2.2

Fatore $2$ de $4 x$ .

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.1.2.3

Cancele o fator comum.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.1.2.4

Reescreva a expressão.

${\begin{cases} - 1 (2 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.1.4

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.4.1

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.1.4.2

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 6}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.8.5.2

Some $5$ e $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9

Simplifique $- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x) - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x + 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.5.2

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.5.3

Cancele o fator comum.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.5.4

Reescreva a expressão.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 1 (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.7

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1.7.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.7.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 6}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 1.9.5.2

Some $- 5$ e $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{1}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Etapa 2

Resolva $- 2 x + \frac{11}{2} < 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Subtraia $\frac{11}{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$- 2 x < - \frac{11}{2}$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- 2 x < - \frac{11}{2}$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x < - \frac{11}{2}$ por $- 2$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x > - \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Etapa 2.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x > - \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x > 1 (\frac{11}{2}) \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.3.3.2

Multiplique $\frac{11}{2}$ por $1$ .

$x > \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.3.3.3

Multiplique $\frac{11}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{11}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.3.3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$x > \frac{11}{4}$

Etapa 3

Resolva $2 x + \frac{1}{2} < 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x < - \frac{1}{2}$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 x < - \frac{1}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 x < - \frac{1}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x < - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.3.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x < - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x < - \frac{1}{4}$

Etapa 4

Encontre a união das soluções.

$x < - \frac{1}{4}$ ou $x > \frac{11}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - \frac{1}{4} or x > \frac{11}{4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (\frac{11}{4}, \infty)$

Etapa 6