Álgebra Exemplos

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\log_{12} (4 n^{2})$ .

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Etapa 2

Para escrever $\log_{12} (n + 14)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine $\log_{12} (n + 14)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Etapa 4

Mova $2$ para a esquerda de $\log_{12} (n + 14)$ .

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Etapa 5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1

Simplifique $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1.1

Simplifique $2 \log_{12} (n + 14)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Etapa 5.1.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

Etapa 5.1.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

Etapa 5.1.2

Reescreva $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ como $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ .

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

Etapa 5.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.1.4.1

Aplique a regra do produto a $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ .

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.4.2

Aplique a regra do produto a $4 {(n + 14)}^{2}$ .

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.7

Avalie o expoente.

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.8

Multiplique os expoentes em ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.8.2.1

Cancele o fator comum.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.8.2.2

Reescreva a expressão.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.9

Simplifique.

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.10

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.11.1

Multiplique $2$ por $14$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Etapa 5.1.11.2

Multiplique os expoentes em ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1.11.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Etapa 5.1.11.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.11.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Etapa 5.1.11.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

Etapa 5.1.12

Simplifique.

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

Etapa 5.1.13

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

Etapa 5.1.14

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.14.1

Mova $n$ .

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

Etapa 5.1.14.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

Etapa 6

Reescreva $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

Etapa 7

Resolva $n$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ .

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

Etapa 7.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$2 n^{2} + 28 n = 144$

Etapa 7.3

Subtraia $144$ dos dois lados da equação.

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

Etapa 7.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.4.1

Fatore $2$ de $2 n^{2} + 28 n - 144$ .

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Etapa 7.4.1.1

Fatore $2$ de $2 n^{2}$ .

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

Etapa 7.4.1.2

Fatore $2$ de $28 n$ .

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

Etapa 7.4.1.3

Fatore $2$ de $- 144$ .

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Etapa 7.4.1.4

Fatore $2$ de $2 n^{2} + 2 (14 n)$ .

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Etapa 7.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ .

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

Etapa 7.4.2

Fatore.

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Etapa 7.4.2.1

Fatore $n^{2} + 14 n - 72$ usando o método AC.

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Etapa 7.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 72$ e cuja soma é $14$ .

$- 4, 18$

Etapa 7.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

Etapa 7.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

Etapa 7.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

Etapa 7.6

Defina $n - 4$ como igual a $0$ e resolva para $n$ .

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Etapa 7.6.1

Defina $n - 4$ como igual a $0$ .

$n - 4 = 0$

Etapa 7.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$n = 4$

Etapa 7.7

Defina $n + 18$ como igual a $0$ e resolva para $n$ .

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Etapa 7.7.1

Defina $n + 18$ como igual a $0$ .

$n + 18 = 0$

Etapa 7.7.2

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$n = - 18$

Etapa 7.8

A solução final são todos os valores que tornam $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ verdadeiro.

$n = 4, - 18$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ verdadeira.

$n = 4$