Álgebra Exemplos

$e^{k^{2} + 9} \cdot e^{- k} = e^{2 k + 5} \cdot e^{3 k - 4}$

Etapa 1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{2 k + 5} \cdot e^{3 k - 4}$

Etapa 2

Multiplique $e^{2 k + 5}$ por $e^{3 k - 4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{2 k + 5 + 3 k - 4}$

Etapa 2.2

Some $2 k$ e $3 k$ .

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{5 k + 5 - 4}$

Etapa 2.3

Subtraia $4$ de $5$ .

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{5 k + 1}$

Etapa 3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$k^{2} + 9 - k = 5 k + 1$

Etapa 4

Resolva $k$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $k$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $5 k$ dos dois lados da equação.

$k^{2} + 9 - k - 5 k = 1$

Etapa 4.1.2

Subtraia $5 k$ de $- k$ .

$k^{2} + 9 - 6 k = 1$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$k^{2} + 9 - 6 k - 1 = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $1$ de $9$ .

$k^{2} - 6 k + 8 = 0$

Etapa 4.4

Fatore $k^{2} - 6 k + 8$ usando o método AC.

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Etapa 4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(k - 4) (k - 2) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$k - 4 = 0$

$k - 2 = 0$

Etapa 4.6

Defina $k - 4$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $k - 4$ como igual a $0$ .

$k - 4 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$k = 4$

Etapa 4.7

Defina $k - 2$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $k - 2$ como igual a $0$ .

$k - 2 = 0$

Etapa 4.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$k = 2$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $(k - 4) (k - 2) = 0$ verdadeiro.

$k = 4, 2$