Álgebra Exemplos

$x y^{2} - x + 3 y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x y^{2} + 3 y^{2} + 1 = x$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x y^{2} + 3 y^{2} = x - 1$

Etapa 2

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2} + 3 y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$y^{2} x + 3 y^{2} = x - 1$

Etapa 2.2

Fatore $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3 = x - 1$

Etapa 2.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x + y^{2} \cdot 3$ .

$y^{2} (x + 3) = x - 1$

Etapa 3

Divida cada termo em $y^{2} (x + 3) = x - 1$ por $x + 3$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $y^{2} (x + 3) = x - 1$ por $x + 3$ .

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 3}$

Etapa 4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ como $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ por $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$

Etapa 5.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ por $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $\sqrt{x + 3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $\sqrt{x + 3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}}$

Etapa 5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{2}}$

Etapa 5.3.6

Reescreva ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ como $x + 3$ .

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Etapa 5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{1}}$

Etapa 5.3.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{x + 3}$

Etapa 5.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{(x - 1) (x + 3)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 8.2

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 8.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 8.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 8.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 3) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 3$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$((- 6) - 1) ((- 6) + 3) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $21$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) - 1) ((0) + 3) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$((4) - 1) ((4) + 3) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $21$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 1$

Etapa 9

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 = 0$

Etapa 10

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 11

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup [1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 3, x \geq 1}$

Etapa 12

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \neq 1, - 1}$

Etapa 13

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 3) \cup [1, \infty), {x | x < - 3, x \geq 1}$

Intervalo: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq 1, - 1}$

Etapa 14