Álgebra Exemplos

$\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}} = 5 x^{7}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}})$ como $\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}})$ .

$\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}$ como ${(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{25 x^{k}}$ como ${(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}) + \ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2.4

Expanda $\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} \ln (5 x^{k + 1}) + \ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2.5

Expanda $\ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} \ln (5 x^{k + 1}) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2.6

Reescreva $\ln (5 x^{k + 1})$ como $\ln (5) + \ln (x^{k + 1})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + \ln (x^{k + 1})) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2.7

Expanda $\ln (x^{k + 1})$ movendo $k + 1$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2.8

Reescreva $\ln (25 x^{k})$ como $\ln (25) + \ln (x^{k})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + \ln (x^{k})) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 2.9

Expanda $\ln (x^{k})$ movendo $k$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x))$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + k \ln (x) + 1 \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.1.2

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + k \ln (x) + \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} (k \ln (x) + \ln (5 x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} (k \ln (x)) + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.4

Multiplique $\frac{1}{3} (k \ln (x))$ .

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Etapa 3.1.1.4.1

Combine $k$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{k}{3} \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.4.2

Combine $\frac{k}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (5 x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{1}{3} \ln (25) + \frac{1}{3} (k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (25)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{1}{3} (k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.8

Multiplique $\frac{1}{3} (k \ln (x))$ .

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Etapa 3.1.1.8.1

Combine $k$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{k}{3} \ln (x) = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.1.8.2

Combine $\frac{k}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{k \ln (x) + \ln (5 x) + \ln (25) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{k \ln (x) + \ln (5 x \cdot 25) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.4

Multiplique $25$ por $5$ .

$\frac{k \ln (x) + \ln (125 x) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.5

Some $k \ln (x)$ e $k \ln (x)$ .

$\frac{2 k \ln (x) + \ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Etapa 3.1.6

Divida a fração $\frac{2 k \ln (x) + \ln (125 x)}{3}$ em duas frações.

$\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Etapa 4

Multiplique cada termo em $\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$ por $3$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$ por $3$ .

$\frac{2 k \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 k \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Etapa 4.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 k \ln (x) + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Etapa 4.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 k \ln (x) + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Etapa 4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (5 x^{7})$ .

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) = 3 \ln (5 x^{7})$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) - 3 \ln (5 x^{7}) = 0$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $k$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $\ln (125 x)$ dos dois lados da equação.

$2 k \ln (x) - 3 \ln (5 x^{7}) = - \ln (125 x)$

Etapa 6.2

Some $3 \ln (5 x^{7})$ aos dois lados da equação.

$2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$

Etapa 7

Divida cada termo em $2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$ por $2 \ln (x)$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$ por $2 \ln (x)$ .

$\frac{2 k \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 k \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Etapa 7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{k \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{k \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Etapa 7.2.2.2

Divida $k$ por $1$ .

$k = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$k = - \frac{\ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$