Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{x^{2} + 9 x + 8}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} + 13 x + 40$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $40$ e cuja soma é $13$ .

$5, 8$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{x^{2} + 9 x + 8}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + 9 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $9$ .

$1, 8$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 3

Fatore $x^{2} + 2 x - 35$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 35$ e cuja soma é $2$ .

$- 5, 7$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 20 x$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 4.1.2

Fatore $4 x$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 20 x}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 4.1.3

Fatore $4 x$ de $20 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 4.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 4.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (5)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x^{2} + 6 x + 5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 4.2

Fatore $x^{2} + 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $6$ .

$1, 5$

Etapa 4.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x ((x + 1) (x + 5))}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x^{3} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 12 x^{2} + 35 x$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + 12 x^{2} + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 5.1.2

Fatore $x$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + x (12 x) + 35 x} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 5.1.3

Fatore $x$ de $35 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 35} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 5.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (12 x)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x^{2} + 12 x) + x \cdot 35} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 5.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + 12 x) + x \cdot 35$ .

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x^{2} + 12 x + 35)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 5.2

Fatore $x^{2} + 12 x + 35$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $12$ .

$5, 7$

Etapa 5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x ((x + 5) (x + 7))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

$\frac{(x - 5) (x + 7)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $x + 7$ de $(x - 5) (x + 7)$ .

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5) (x + 7)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x + 7$ de $x (x + 5) (x + 7)$ .

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{(x + 7) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{(x + 7) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 5}{- x - 5} \cdot \frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{x - 5}{- x - 5}$ por $\frac{4 x (x + 1) (x + 5)}{x (x + 5)}$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- x - 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- (x) - 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6.4

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{(- (x) - 1 (5)) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- (x + 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 6.6

Reescreva $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 (x + 5) (x (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 7

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x ({(x + 5)}^{1} (x + 5))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 8

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x {(x + 5)}^{1 + 1}} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5))}{- 1 x {(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{(x + 1) (x + 8)}$

Etapa 11

Combine.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- 1 x {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Etapa 12

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 5) (4 x (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- 1 x {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Etapa 12.2

Reescreva a expressão.

$\frac{((x - 5) ((4 (x + 1)) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 5) (4 (x + 1) (x + 5)) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} ((x + 1) (x + 8))}$

Etapa 13.2

Reescreva a expressão.

$\frac{((x - 5) ((4) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))}{- {(x + 5)}^{2} (x + 8)}$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $x + 5$ e ${(x + 5)}^{2}$ .

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Etapa 14.1

Fatore $x + 5$ de $((x - 5) ((4) (x + 5))) ((x + 5) (x + 8))$ .

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{- {(x + 5)}^{2} (x + 8)}$

Etapa 14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.2.1

Fatore $x + 5$ de $- {(x + 5)}^{2} (x + 8)$ .

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{(x + 5) (- (x + 5) (x + 8))}$

Etapa 14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8)))}{(x + 5) (- (x + 5) (x + 8))}$

Etapa 14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{((x - 5) \cdot (4)) ((x + 5) (x + 8))}{- (x + 5) (x + 8)}$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 5) \cdot (4) ((x + 5) (x + 8))}{- (x + 5) (x + 8)}$

Etapa 15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{((x - 5) \cdot (4)) (x + 8)}{- (x + 8)}$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $x + 8$ .

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Etapa 16.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 5) \cdot (4) (x + 8)}{- (x + 8)}$

Etapa 16.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 5) \cdot (4)}{- 1}$

Etapa 16.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{(x - 5) \cdot (4)}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((x - 5) \cdot (4))$

Etapa 17

Reescreva $- 1 \cdot ((x - 5) \cdot (4))$ como $- ((x - 5) \cdot (4))$ .

$- ((x - 5) \cdot (4))$

Etapa 18

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot 4 - 5 \cdot 4)$

Etapa 19

Simplifique a expressão.

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Etapa 19.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$- (4 \cdot x - 5 \cdot 4)$

Etapa 19.2

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$- (4 \cdot x - 20)$

Etapa 20

Aplique a propriedade distributiva.

$- (4 x) - - 20$

Etapa 21

Multiplique.

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Etapa 21.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x - - 20$

Etapa 21.2

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$- 4 x + 20$