Álgebra Exemplos

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Etapa 2

Fatore.

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Etapa 2.1

Reescreva $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Etapa 2.2

Reescreva $\cos^{4} (x)$ como ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sin^{2} (x)$ e $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Etapa 2.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sin (x)$ e $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Expanda $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Etapa 3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Etapa 4

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ é uma identidade