Álgebra Exemplos

$12 n^{2} + 48 n = - n^{3} - 64$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Some $n^{3}$ aos dois lados da equação.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} = - 64$

Etapa 1.2

Some $64$ aos dois lados da equação.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} + 64 = 0$

Etapa 2

Reordene os termos.

$n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64 = 0$

Etapa 3

Reescreva $n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.1

Reagrupe os termos.

$n^{3} + 64 + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$n^{3} + 4^{3} + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Etapa 3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = n$ e $b = 4$ .

$(n + 4) (n^{2} - n \cdot 4 + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Etapa 3.4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Etapa 3.5

Fatore $12 n$ de $12 n^{2} + 48 n$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $12 n$ de $12 n^{2}$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 48 n = 0$

Etapa 3.5.2

Fatore $12 n$ de $48 n$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 12 n (4) = 0$

Etapa 3.5.3

Fatore $12 n$ de $12 n (n) + 12 n (4)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4) = 0$

Etapa 3.6

Fatore $n + 4$ de $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4)$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $n + 4$ de $12 n (n + 4)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n) = 0$

Etapa 3.6.2

Fatore $n + 4$ de $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16 + 12 n) = 0$

Etapa 3.7

Some $- 4 n$ e $12 n$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 16) = 0$

Etapa 3.8

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.8.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 4^{2}) = 0$

Etapa 3.8.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 n = 2 \cdot n \cdot 4$

Etapa 3.8.3

Reescreva o polinômio.

$(n + 4) (n^{2} + 2 \cdot n \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 3.8.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = n$ e $b = 4$ .

$(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$n + 4 = 0$

${(n + 4)}^{2} = 0$

Etapa 5

Defina $n + 4$ como igual a $0$ e resolva para $n$ .

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Etapa 5.1

Defina $n + 4$ como igual a $0$ .

$n + 4 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$n = - 4$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$n = - 4$