Álgebra Exemplos

$4^{x} + 6 (4^{- x}) = 5$

Etapa 1

Reescreva $4^{- x}$ como exponenciação.

$4^{x} + 6 \cdot {(4^{x})}^{- 1} = 5$

Etapa 2

Substitua $u$ por $4^{x}$ .

$u + 6 \cdot u^{- 1} = 5$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 6 \cdot \frac{1}{u} = 5$

Etapa 3.2

Combine $6$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{6}{u} = 5$

Etapa 4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{6}{u} = 5$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{6}{u} = 5$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{6}{u} u = 5 u$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{6}{u} u = 5 u$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{6}{u} u = 5 u$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + 6 = 5 u$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $5 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 6 - 5 u = 0$

Etapa 4.3.2

Fatore $u^{2} + 6 - 5 u$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 4.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Etapa 4.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Etapa 4.3.4

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 4.3.5

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.5.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 4.3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 4.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 3) (u - 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 3, 2$

Etapa 5

Substitua $3$ por $u$ em $u = 4^{x}$ .

$3 = 4^{x}$

Etapa 6

Resolva $3 = 4^{x}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $4^{x} = 3$ .

$4^{x} = 3$

Etapa 6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4^{x}) = \ln (3)$

Etapa 6.3

Expanda $\ln (4^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (4) = \ln (3)$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $x \ln (4) = \ln (3)$ por $\ln (4)$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $x \ln (4) = \ln (3)$ por $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}$

Etapa 7

Substitua $2$ por $u$ em $u = 4^{x}$ .

$2 = 4^{x}$

Etapa 8

Resolva $2 = 4^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $4^{x} = 2$ .

$4^{x} = 2$

Etapa 8.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{2 x} = 2^{1}$

Etapa 8.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$2 x = 1$

Etapa 8.4

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.4.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 8.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}, \frac{1}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (4)}, \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.79248125 \dots, 0.5$