Álgebra Exemplos

$f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ como uma equação.

$y = \sqrt{9 x^{2}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{9 y^{2}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{9 y^{2}} = x$ .

$\sqrt{9 y^{2}} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{9 y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 y^{2}}$ como ${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(9 y^{2})}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$9 y^{2} = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $9 y^{2} = x^{2}$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1.1

Divida cada termo em $9 y^{2} = x^{2}$ por $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Etapa 3.4.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 3.4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Etapa 3.4.1.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9}$

Etapa 3.4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Etapa 3.4.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$ .

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Etapa 3.4.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Etapa 3.4.3.2

Reescreva $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Etapa 3.4.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm \frac{x}{3}$

Etapa 3.4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{x}{3}$

Etapa 3.4.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{x}{3}$

Etapa 3.4.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{x}{3}$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ é o intervalo de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ é o domínio de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Etapa 6