Álgebra Exemplos

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

Etapa 1

Reescreva $3^{x + 2}$ como $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

Etapa 2

Reescreva $3^{1 - x}$ como $3^{1} \cdot 3^{- x}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

Etapa 3

Reescreva $3^{- x}$ como exponenciação.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

Etapa 4

Substitua $u$ por $3^{x}$ .

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Etapa 5.2

Mova $9$ para a esquerda de $u$ .

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

Etapa 5.4

Combine $3$ e $\frac{1}{u}$ .

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

Etapa 6

Resolva $u$ .

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Etapa 6.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 6.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 6.2

Multiplique cada termo em $9 u + \frac{3}{u} = 28$ por $u$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique cada termo em $9 u + \frac{3}{u} = 28$ por $u$ .

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Mova $u$ .

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

Etapa 6.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Subtraia $28 u$ dos dois lados da equação.

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Reordene os termos.

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Etapa 6.3.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ e cuja soma é $b = - 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Fatore $- 28$ de $- 28 u$ .

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Etapa 6.3.2.2.2

Reescreva $- 28$ como $- 1$ mais $- 27$

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Etapa 6.3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Etapa 6.3.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.3.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

Etapa 6.3.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Etapa 6.3.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

Etapa 6.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Etapa 6.3.4

Defina $9 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.3.4.1

Defina $9 u - 1$ como igual a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Etapa 6.3.4.2

Resolva $9 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 6.3.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$9 u = 1$

Etapa 6.3.4.2.2

Divida cada termo em $9 u = 1$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 6.3.4.2.2.1

Divida cada termo em $9 u = 1$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Etapa 6.3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Etapa 6.3.4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Etapa 6.3.5

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.3.5.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 6.3.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 6.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{9}, 3$

Etapa 7

Substitua $\frac{1}{9}$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

Etapa 8

Resolva $\frac{1}{9} = 3^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $3^{x} = \frac{1}{9}$ .

$3^{x} = \frac{1}{9}$

Etapa 8.2

Eleve $9$ à potência de $1$ .

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

Etapa 8.3

Mova $9^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{x} = 9^{- 1}$

Etapa 8.4

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{- 2}$

Etapa 8.5

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = - 2$

Etapa 9

Substitua $3$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Etapa 10

Resolva $3 = 3^{x}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Etapa 10.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{1}$

Etapa 10.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 11

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = - 2, 1$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $243.\overline{1}$ é maior do que o lado direito $28$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $12$ não é maior do que o lado direito $28$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $729.\overline{037}$ é maior do que o lado direito $28$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $x > 1$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 2 or x > 1$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

Etapa 16