Álgebra Exemplos

$\sec (\frac{2 π}{3} + x) = 2$

Etapa 1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$\frac{2 π}{3} + x = arcsec (2)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{π}{3}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{2 π}{3}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π - 2 π}{3}$

Etapa 3.3

Subtraia $2 π$ de $π$ .

$x = \frac{- π}{3}$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 4

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{2 π}{3} + x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 5.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.1.2

Combine frações.

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Etapa 5.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 5.1.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{2 π}{3} + x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $\frac{2 π}{3}$ dos dois lados da equação.

$x = \frac{5 π}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{5 π - 2 π}{3}$

Etapa 5.2.3

Subtraia $2 π$ de $5 π$ .

$x = \frac{3 π}{3}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 π}{3}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$x = π$

Etapa 6

Encontre o período de $\sec (\frac{2 π}{3} + x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.3

Combine frações.

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Etapa 7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 7.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 8

O período da função $\sec (\frac{2 π}{3} + x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$