Álgebra Exemplos

${(4 \cos (θ) - 3 \sin (θ))}^{2} + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(4 \cos (θ) - 3 \sin (θ))}^{2}$ como $(4 \cos (θ) - 3 \sin (θ)) (4 \cos (θ) - 3 \sin (θ))$ .

$(4 \cos (θ) - 3 \sin (θ)) (4 \cos (θ) - 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.2

Expanda $(4 \cos (θ) - 3 \sin (θ)) (4 \cos (θ) - 3 \sin (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cos (θ) (4 \cos (θ) - 3 \sin (θ)) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ) - 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cos (θ) (4 \cos (θ)) + 4 \cos (θ) (- 3 \sin (θ)) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ) - 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cos (θ) (4 \cos (θ)) + 4 \cos (θ) (- 3 \sin (θ)) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ)) - 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $4 \cos (θ) (4 \cos (θ))$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 \cos (θ) \cos (θ) + 4 \cos (θ) (- 3 \sin (θ)) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ)) - 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.1.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$16 (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + 4 \cos (θ) (- 3 \sin (θ)) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ)) - 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.1.3

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$16 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + 4 \cos (θ) (- 3 \sin (θ)) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ)) - 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 {\cos (θ)}^{1 + 1} + 4 \cos (θ) (- 3 \sin (θ)) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ)) - 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) + 4 \cos (θ) (- 3 \sin (θ)) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ)) - 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) - 3 \sin (θ) (4 \cos (θ)) - 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) - 12 \sin (θ) \cos (θ) - 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $- 3 \sin (θ) (- 3 \sin (θ))$ .

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Etapa 1.3.1.4.1

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) - 12 \sin (θ) \cos (θ) + 9 \sin (θ) \sin (θ) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.4.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) - 12 \sin (θ) \cos (θ) + 9 (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.4.3

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) - 12 \sin (θ) \cos (θ) + 9 (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 \cos^{2} (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) - 12 \sin (θ) \cos (θ) + 9 {\sin (θ)}^{1 + 1} + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) - 12 \sin (θ) \cos (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores de $- 12 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) - 12 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.3.3

Subtraia $12 \cos (θ) \sin (θ)$ de $- 12 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + {(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$

Etapa 1.4

Reescreva ${(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))}^{2}$ como $(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ)) (3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + (3 \cos (θ) + 4 \sin (θ)) (3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))$

Etapa 1.5

Expanda $(3 \cos (θ) + 4 \sin (θ)) (3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 3 \cos (θ) (3 \cos (θ) + 4 \sin (θ)) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 3 \cos (θ) (3 \cos (θ)) + 3 \cos (θ) (4 \sin (θ)) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ) + 4 \sin (θ))$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 3 \cos (θ) (3 \cos (θ)) + 3 \cos (θ) (4 \sin (θ)) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ)) + 4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$

Etapa 1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Multiplique $3 \cos (θ) (3 \cos (θ))$ .

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Etapa 1.6.1.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos (θ) \cos (θ) + 3 \cos (θ) (4 \sin (θ)) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ)) + 4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$

Etapa 1.6.1.1.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + 3 \cos (θ) (4 \sin (θ)) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ)) + 4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$

Etapa 1.6.1.1.3

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + 3 \cos (θ) (4 \sin (θ)) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ)) + 4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$

Etapa 1.6.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 {\cos (θ)}^{1 + 1} + 3 \cos (θ) (4 \sin (θ)) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ)) + 4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$

Etapa 1.6.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 3 \cos (θ) (4 \sin (θ)) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ)) + 4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 4 \sin (θ) (3 \cos (θ)) + 4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 12 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $4 \sin (θ) (4 \sin (θ))$ .

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Etapa 1.6.1.4.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 12 \sin (θ) \cos (θ) + 16 \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 1.6.1.4.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 12 \sin (θ) \cos (θ) + 16 (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

Etapa 1.6.1.4.3

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 12 \sin (θ) \cos (θ) + 16 (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

Etapa 1.6.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 12 \sin (θ) \cos (θ) + 16 {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Etapa 1.6.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 12 \sin (θ) \cos (θ) + 16 \sin^{2} (θ)$

Etapa 1.6.2

Reordene os fatores de $12 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 12 \cos (θ) \sin (θ) + 16 \sin^{2} (θ)$

Etapa 1.6.3

Some $12 \cos (θ) \sin (θ)$ e $12 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 24 \cos (θ) \sin (θ) + 16 \sin^{2} (θ)$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Combine os termos opostos em $16 \cos^{2} (θ) - 24 \cos (θ) \sin (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 24 \cos (θ) \sin (θ) + 16 \sin^{2} (θ)$ .

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Etapa 2.1.1

Some $- 24 \cos (θ) \sin (θ)$ e $24 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$16 \cos^{2} (θ) + 0 + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 16 \sin^{2} (θ)$

Etapa 2.1.2

Some $16 \cos^{2} (θ)$ e $0$ .

$16 \cos^{2} (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ) + 16 \sin^{2} (θ)$

Etapa 2.2

Mova $16 \sin^{2} (θ)$ .

$16 \cos^{2} (θ) + 16 \sin^{2} (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ)$

Etapa 2.3

Fatore $16$ de $16 \cos^{2} (θ)$ .

$16 (\cos^{2} (θ)) + 16 \sin^{2} (θ) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ)$

Etapa 2.4

Fatore $16$ de $16 \sin^{2} (θ)$ .

$16 (\cos^{2} (θ)) + 16 (\sin^{2} (θ)) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ)$

Etapa 2.5

Fatore $16$ de $16 (\cos^{2} (θ)) + 16 (\sin^{2} (θ))$ .

$16 (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ)$

Etapa 3

Reorganize os termos.

$16 (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ)$

Etapa 4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$16 \cdot 1 + 9 \sin^{2} (θ) + 9 \cos^{2} (θ)$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Fatore $9$ de $9 \sin^{2} (θ)$ .

$16 \cdot 1 + 9 (\sin^{2} (θ)) + 9 \cos^{2} (θ)$

Etapa 5.2

Fatore $9$ de $9 \cos^{2} (θ)$ .

$16 \cdot 1 + 9 (\sin^{2} (θ)) + 9 (\cos^{2} (θ))$

Etapa 5.3

Fatore $9$ de $9 (\sin^{2} (θ)) + 9 (\cos^{2} (θ))$ .

$16 \cdot 1 + 9 (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ))$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$16 \cdot 1 + 9 \cdot 1$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $16$ por $1$ .

$16 + 9 \cdot 1$

Etapa 7.1.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$16 + 9$

Etapa 7.2

Some $16$ e $9$ .

$25$