Álgebra Exemplos

$\frac{1}{\log_{2} (12)} + \frac{1}{\log_{8} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{1}{\log_{2} (12)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\log_{8} (12)}{\log_{8} (12)}$ .

$\frac{1}{\log_{2} (12)} \cdot \frac{\log_{8} (12)}{\log_{8} (12)} + \frac{1}{\log_{8} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{1}{\log_{8} (12)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\log_{2} (12)}{\log_{2} (12)}$ .

$\frac{1}{\log_{2} (12)} \cdot \frac{\log_{8} (12)}{\log_{8} (12)} + \frac{1}{\log_{8} (12)} \cdot \frac{\log_{2} (12)}{\log_{2} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\log_{2} (12) \log_{8} (12)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\log_{2} (12)}$ por $\frac{\log_{8} (12)}{\log_{8} (12)}$ .

$\frac{\log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)} + \frac{1}{\log_{8} (12)} \cdot \frac{\log_{2} (12)}{\log_{2} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{\log_{8} (12)}$ por $\frac{\log_{2} (12)}{\log_{2} (12)}$ .

$\frac{\log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)} + \frac{\log_{2} (12)}{\log_{8} (12) \log_{2} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $\log_{8} (12) \log_{2} (12)$ .

$\frac{\log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)} + \frac{\log_{2} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\log_{8} (12) + \log_{2} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)}$

Etapa 5

Para escrever $\frac{\log_{8} (12) + \log_{2} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\log_{9} (12)}{\log_{9} (12)}$ .

$\frac{\log_{8} (12) + \log_{2} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)} \cdot \frac{\log_{9} (12)}{\log_{9} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)}$

Etapa 6

Para escrever $\frac{1}{\log_{9} (12)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}$ .

$\frac{\log_{8} (12) + \log_{2} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)} \cdot \frac{\log_{9} (12)}{\log_{9} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)} \cdot \frac{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}$

Etapa 7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{\log_{8} (12) + \log_{2} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}$ por $\frac{\log_{9} (12)}{\log_{9} (12)}$ .

$\frac{(\log_{8} (12) + \log_{2} (12)) \log_{9} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)} + \frac{1}{\log_{9} (12)} \cdot \frac{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{\log_{9} (12)}$ por $\frac{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}$ .

$\frac{(\log_{8} (12) + \log_{2} (12)) \log_{9} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)} + \frac{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{9} (12) (\log_{2} (12) \log_{8} (12))}$

Etapa 7.3

Reordene os fatores de $\log_{9} (12) (\log_{2} (12) \log_{8} (12))$ .

$\frac{(\log_{8} (12) + \log_{2} (12)) \log_{9} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)} + \frac{\log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(\log_{8} (12) + \log_{2} (12)) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\log_{8} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Reescreva $\log_{8} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 10.1.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.1.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (12)}{\log (8)} \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.2

Reescreva $\log_{9} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 10.2.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\frac{\log (12)}{\log (8)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.2.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (12)}{\log (8)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)} + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.3

Multiplique $\frac{\log (12)}{\log (8)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)}$ .

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Etapa 10.3.1

Multiplique $\frac{\log (12)}{\log (8)}$ por $\frac{\log (12)}{\log (9)}$ .

$\frac{\frac{\log (12) \log (12)}{\log (8) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.3.2

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{1} (12) \log (12)}{\log (8) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.3.3

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{1} (12) \log^{1} (12)}{\log (8) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{{\log (12)}^{1 + 1}}{\log (8) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.4

Reescreva $\log_{2} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 10.4.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.4.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log (12)}{\log (2)} \log_{9} (12) + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.5

Reescreva $\log_{9} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 10.5.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log (12)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.5.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log (12)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)} + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.6

Multiplique $\frac{\log (12)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)}$ .

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Etapa 10.6.1

Multiplique $\frac{\log (12)}{\log (2)}$ por $\frac{\log (12)}{\log (9)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log (12) \log (12)}{\log (2) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.6.2

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{1} (12) \log (12)}{\log (2) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.6.3

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{1} (12) \log^{1} (12)}{\log (2) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{{\log (12)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \log_{2} (12) \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.7

Reescreva $\log_{2} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 10.7.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.7.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{\log (12)}{\log (2)} \log_{8} (12)}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.8

Reescreva $\log_{8} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 10.8.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{\log (12)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.8.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{\log (12)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.9

Multiplique $\frac{\log (12)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (8)}$ .

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Etapa 10.9.1

Multiplique $\frac{\log (12)}{\log (2)}$ por $\frac{\log (12)}{\log (8)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{\log (12) \log (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.9.2

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{\log^{1} (12) \log (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.9.3

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{\log^{1} (12) \log^{1} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{{\log (12)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.9.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.10

Para escrever $\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.11

Para escrever $\frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\log (8)}{\log (8)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} \cdot \frac{\log (8)}{\log (8)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\log (8) \log (9) \log (2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.12.1

Multiplique $\frac{\log^{2} (12)}{\log (8) \log (9)}$ por $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2)}{\log (8) \log (9) \log (2)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)} \cdot \frac{\log (8)}{\log (8)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.12.2

Multiplique $\frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (9)}$ por $\frac{\log (8)}{\log (8)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2)}{\log (8) \log (9) \log (2)} + \frac{\log^{2} (12) \log (8)}{\log (2) \log (9) \log (8)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.12.3

Reordene os fatores de $\log (8) \log (9) \log (2)$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2)}{\log (2) \log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12) \log (8)}{\log (2) \log (9) \log (8)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.12.4

Reordene os fatores de $\log (2) \log (9) \log (8)$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2)}{\log (2) \log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12) \log (8)}{\log (2) \log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8)}{\log (2) \log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.14

Para escrever $\frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\log (9)}{\log (9)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8)}{\log (2) \log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)} \cdot \frac{\log (9)}{\log (9)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.15

Multiplique $\frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}$ por $\frac{\log (9)}{\log (9)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8)}{\log (2) \log (8) \log (9)} + \frac{\log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 10.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\log_{2} (12) \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 11

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.1

Reescreva $\log_{2} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 11.1.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 11.1.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log (12)}{\log (2)} \log_{8} (12) \log_{9} (12)}$

Etapa 11.2

Reescreva $\log_{8} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 11.2.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log (12)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{9} (12)}$

Etapa 11.2.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log (12)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (8)} \log_{9} (12)}$

Etapa 11.3

Reescreva $\log_{9} (12)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 11.3.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log (12)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (8)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Etapa 11.3.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

Etapa 11.4

Combine expoentes.

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Etapa 11.4.1

Multiplique $\frac{\log (12)}{\log (2)}$ por $\frac{\log (12)}{\log (8)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log (12) \log (12)}{\log (2) \log (8)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)}}$

Etapa 11.4.2

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log^{1} (12) \log (12)}{\log (2) \log (8)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)}}$

Etapa 11.4.3

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log^{1} (12) \log^{1} (12)}{\log (2) \log (8)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)}}$

Etapa 11.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{{\log (12)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (8)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)}}$

Etapa 11.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)} \cdot \frac{\log (12)}{\log (9)}}$

Etapa 11.4.6

Multiplique $\frac{\log^{2} (12)}{\log (2) \log (8)}$ por $\frac{\log (12)}{\log (9)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log^{2} (12) \log (12)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}$

Etapa 11.4.7

Multiplique $\log^{2} (12)$ por $\log (12)$ somando os expoentes.

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Etapa 11.4.7.1

Multiplique $\log^{2} (12)$ por $\log (12)$ .

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Etapa 11.4.7.1.1

Eleve $\log (12)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log^{2} (12) \log^{1} (12)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}$

Etapa 11.4.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{{\log (12)}^{2 + 1}}{\log (2) \log (8) \log (9)}}$

Etapa 11.4.7.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}{\frac{\log^{3} (12)}{\log (2) \log (8) \log (9)}}$

Etapa 12

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)} \cdot \frac{\log (2) \log (8) \log (9)}{\log^{3} (12)}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $\log (2) \log (8) \log (9)$ .

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)}{\log (2) \log (8) \log (9)} \cdot \frac{\log (2) \log (8) \log (9)}{\log^{3} (12)}$

Etapa 13.2

Reescreva a expressão.

$(\log^{2} (12) \log (2) + \log^{2} (12) \log (8) + \log^{2} (12) \log (9)) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 14

Aplique a propriedade distributiva.

$\log^{2} (12) \log (2) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (8) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum de $\log^{2} (12)$ .

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Etapa 15.1.1

Fatore $\log^{2} (12)$ de $\log^{2} (12) \log (2)$ .

$\log^{2} (12) (\log (2)) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (8) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.1.2

Fatore $\log^{2} (12)$ de $\log^{3} (12)$ .

$\log^{2} (12) (\log (2)) \frac{1}{\log^{2} (12) \log (12)} + \log^{2} (12) \log (8) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.1.3

Cancele o fator comum.

$\log^{2} (12) \log (2) \frac{1}{\log^{2} (12) \log (12)} + \log^{2} (12) \log (8) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.1.4

Reescreva a expressão.

$\log (2) \frac{1}{\log (12)} + \log^{2} (12) \log (8) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.2

Combine $\log (2)$ e $\frac{1}{\log (12)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \log^{2} (12) \log (8) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.3

Cancele o fator comum de $\log^{2} (12)$ .

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Etapa 15.3.1

Fatore $\log^{2} (12)$ de $\log^{2} (12) \log (8)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \log^{2} (12) (\log (8)) \frac{1}{\log^{3} (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.3.2

Fatore $\log^{2} (12)$ de $\log^{3} (12)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \log^{2} (12) (\log (8)) \frac{1}{\log^{2} (12) \log (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \log^{2} (12) \log (8) \frac{1}{\log^{2} (12) \log (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \log (8) \frac{1}{\log (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.4

Combine $\log (8)$ e $\frac{1}{\log (12)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \frac{\log (8)}{\log (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.5

Cancele o fator comum de $\log^{2} (12)$ .

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Etapa 15.5.1

Fatore $\log^{2} (12)$ de $\log^{2} (12) \log (9)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \frac{\log (8)}{\log (12)} + \log^{2} (12) (\log (9)) \frac{1}{\log^{3} (12)}$

Etapa 15.5.2

Fatore $\log^{2} (12)$ de $\log^{3} (12)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \frac{\log (8)}{\log (12)} + \log^{2} (12) (\log (9)) \frac{1}{\log^{2} (12) \log (12)}$

Etapa 15.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \frac{\log (8)}{\log (12)} + \log^{2} (12) \log (9) \frac{1}{\log^{2} (12) \log (12)}$

Etapa 15.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \frac{\log (8)}{\log (12)} + \log (9) \frac{1}{\log (12)}$

Etapa 15.6

Combine $\log (9)$ e $\frac{1}{\log (12)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (12)} + \frac{\log (8)}{\log (12)} + \frac{\log (9)}{\log (12)}$

Etapa 16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\log (2) + \log (8) + \log (9)}{\log (12)}$

Etapa 17

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (2 \cdot 8) + \log (9)}{\log (12)}$

Etapa 18

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (2 \cdot 8 \cdot 9)}{\log (12)}$

Etapa 19

Multiplique $2 \cdot 8 \cdot 9$ .

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Etapa 19.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{\log (16 \cdot 9)}{\log (12)}$

Etapa 19.2

Multiplique $16$ por $9$ .

$\frac{\log (144)}{\log (12)}$

Etapa 20

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\log (144)}{\log (12)}$

Forma decimal:

$2$