Álgebra Exemplos

$y = e^{3 - x}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = e^{3 - y}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $e^{3 - y} = x$ .

$e^{3 - y} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{3 - y}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Expanda $\ln (e^{3 - y})$ movendo $3 - y$ para fora do logaritmo.

$(3 - y) \ln (e) = \ln (x)$

Etapa 2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(3 - y) \cdot 1 = \ln (x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3 - y$ por $1$ .

$3 - y = \ln (x)$

Etapa 2.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- y = \ln (x) - 3$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $- y = \ln (x) - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $- y = \ln (x) - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (x) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (x)$ como $- \ln (x)$ .

$y = - \ln (x) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.3.1.3

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$y = - \ln (x) + 3$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 3$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 3$ é o inverso de $f (x) = e^{3 - x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{3 - x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = - \ln (e^{3 - x}) + 3$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Use as regras logarítmicas para mover $3 - x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = - ((3 - x) \ln (e)) + 3$

Etapa 4.2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = - ((3 - x) \cdot 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3

Multiplique $3 - x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = - (3 - x) + 3$

Etapa 4.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = - 1 \cdot 3 + x + 3$

Etapa 4.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = - 3 + x + 3$

Etapa 4.2.3.6

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 4.2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = - 3 + 1 x + 3$

Etapa 4.2.3.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = - 3 + x + 3$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $- 3 + x + 3$ .

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Etapa 4.2.4.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 - x}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (- \ln (x) + 3)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \ln (x) + 3) = e^{3 - (- \ln (x) + 3)}$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \ln (x) + 3) = e^{3 + \ln (x) - 1 \cdot 3}$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique $- - \ln (x)$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (x) + 3) = e^{3 + 1 \ln (x) - 1 \cdot 3}$

Etapa 4.3.3.2.2

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f (- \ln (x) + 3) = e^{3 + \ln (x) - 1 \cdot 3}$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \ln (x) + 3) = e^{3 + \ln (x) - 3}$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $3 + \ln (x) - 3$ .

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Etapa 4.3.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (- \ln (x) + 3) = e^{0 + \ln (x)}$

Etapa 4.3.4.2

Some $0$ e $\ln (x)$ .

$f (- \ln (x) + 3) = e^{\ln (x)}$

Etapa 4.3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \ln (x) + 3) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 3$ é o inverso de $f (x) = e^{3 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 3$