Álgebra Exemplos

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x + 2}{x + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 3) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x + 2}{x + 3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1.1

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.4

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.5

Reescreva $x^{2} - 9$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.2.1.5.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.1.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x}$

Etapa 4.3

Simplifique os termos.

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Etapa 4.3.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - x}$

Etapa 4.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - (x)}$

Etapa 4.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$

Etapa 4.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.4.1

Mova um número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$ para o numerador.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 + x}$

Etapa 4.3.4.2

Reordene os termos.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{x - 2}$

Etapa 4.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 3 - 1 \cdot 1}{x - 2}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - 1}{x - 2}$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$\frac{x - 4}{x - 2}$