Álgebra Exemplos

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{8}{x}$ dos dois lados da desigualdade.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

Etapa 2

Simplifique $| x - 2 | - \frac{8}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $| x - 2 |$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ .

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

Etapa 4

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x | x - 2 | = 8$

Etapa 5

Divida cada termo em $x | x - 2 | = 8$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $x | x - 2 | = 8$ por $x$ .

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $| x - 2 |$ por $1$ .

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

Etapa 6

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

Etapa 7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{8}{x} + 2$

Etapa 7.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 7.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 7.4

Multiplique cada termo em $x = \frac{8}{x} + 2$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.4.1

Multiplique cada termo em $x = \frac{8}{x} + 2$ por $x$ .

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

Etapa 7.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Etapa 7.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Etapa 7.4.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 8 + 2 x$

Etapa 7.5

Resolva a equação.

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Etapa 7.5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x = 8$

Etapa 7.5.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 7.5.3

Fatore $x^{2} - 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 7.5.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 7.5.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Etapa 7.5.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 7.5.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 7.5.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7.5.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.5.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7.5.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 2$

Etapa 7.6

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

Etapa 7.7

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

Etapa 7.8

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.8.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 7.8.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 7.9

Multiplique cada termo em $x = - \frac{8}{x} + 2$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.9.1

Multiplique cada termo em $x = - \frac{8}{x} + 2$ por $x$ .

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Etapa 7.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.9.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Etapa 7.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.9.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.9.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{8}{x}$ para o numerador.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Etapa 7.9.3.1.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Etapa 7.9.3.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

Etapa 7.10

Resolva a equação.

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Etapa 7.10.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x = - 8$

Etapa 7.10.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Etapa 7.10.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.10.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 8$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5

Simplifique.

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Etapa 7.10.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.10.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Etapa 7.10.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.3

Subtraia $32$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.4

Reescreva $- 28$ como $- 1 (28)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (28)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.7

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Etapa 7.10.5.1.7.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.10.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 7.10.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

Etapa 7.10.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Etapa 7.11

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, 4, - 2$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 10.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $6$ não é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $3$ não é menor do que o lado direito $- 8$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $4$ não é menor do que o lado direito $1.\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < 4$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$0 < x < 4$

Notação de intervalo:

$(0, 4)$

Etapa 15