Álgebra Exemplos

$\frac{4}{9 x^{2} - 1} + \frac{1}{3 x^{2} - x} = \frac{4}{9 x^{2} - 6 x + 1}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{4}{{(3 x)}^{2} - 1} + \frac{1}{3 x^{2} - x} = \frac{4}{9 x^{2} - 6 x + 1}$

Etapa 1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3 x^{2} - x} = \frac{4}{9 x^{2} - 6 x + 1}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 1$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{3 x^{2} - x} = \frac{4}{9 x^{2} - 6 x + 1}$

Etapa 1.4

Fatore $x$ de $3 x^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x) - x} = \frac{4}{9 x^{2} - 6 x + 1}$

Etapa 1.4.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x) + x \cdot - 1} = \frac{4}{9 x^{2} - 6 x + 1}$

Etapa 1.4.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 1$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x - 1)} = \frac{4}{9 x^{2} - 6 x + 1}$

Etapa 1.5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.5.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x - 1)} = \frac{4}{{(3 x)}^{2} - 6 x + 1}$

Etapa 1.5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x - 1)} = \frac{4}{{(3 x)}^{2} - 6 x + 1^{2}}$

Etapa 1.5.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

Etapa 1.5.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x - 1)} = \frac{4}{{(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 1.5.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 3 x$ e $b = 1$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x - 1)} = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(3 x + 1) (3 x - 1), x (3 x - 1), {(3 x - 1)}^{2}$

Etapa 2.2

Since $(3 x + 1) (3 x - 1), x (3 x - 1), {(3 x - 1)}^{2}$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

As etapas para encontrar o MMC de $(3 x + 1) (3 x - 1), x (3 x - 1), {(3 x - 1)}^{2}$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 1$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $x^{1}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $3 x + 1, 3 x - 1, 3 x - 1, {(3 x - 1)}^{2}$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.6

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O MMC de $x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x$

Etapa 2.8

O fator de $3 x + 1$ é o próprio $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O fator de $3 x - 1$ é o próprio $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) = 3 x - 1$

$(3 x - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

Os fatores de $3 x - 1$ são $(3 x - 1) \cdot (3 x - 1)$ , que é $3 x - 1$ multiplicado por si mesmo por $2$ vezes.

$(3 x - 1) = (3 x - 1) \cdot (3 x - 1)$

$(3 x - 1)$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.11

O MMC de $3 x + 1, 3 x - 1, 3 x - 1, {(3 x - 1)}^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$

Etapa 2.12

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x - 1)} = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}}$ por $x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} + \frac{1}{x (3 x - 1)} = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}}$ por $x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Fatore $(3 x + 1) (3 x - 1)$ de $x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} ((3 x + 1) (3 x - 1) (x (3 x - 1))) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{(3 x + 1) (3 x - 1)} ((3 x + 1) (3 x - 1) (x (3 x - 1))) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 (x (3 x - 1)) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x (3 x) + x \cdot - 1) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 (3 x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$4 (3 x \cdot x - 1 \cdot x) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.5.1.1

Mova $x$ .

$4 (3 (x \cdot x) - 1 \cdot x) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 (3 x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$4 (3 x^{2} - x) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- x) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + 4 (- x) + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$12 x^{2} - 4 x + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.9

Cancele o fator comum de $x (3 x - 1)$ .

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Etapa 3.2.1.9.1

Fatore $x (3 x - 1)$ de $x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ .

$12 x^{2} - 4 x + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.9.2

Cancele o fator comum.

$12 x^{2} - 4 x + \frac{1}{x (3 x - 1)} (x (3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.9.3

Reescreva a expressão.

$12 x^{2} - 4 x + (3 x + 1) (3 x - 1) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.10

Expanda $(3 x + 1) (3 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 + 1 (3 x - 1) = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.11

Combine os termos opostos em $3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.1.11.1

Reorganize os fatores nos termos $3 x \cdot - 1$ e $1 (3 x)$ .

$12 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x) - 1 \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x + 1 \cdot - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.11.2

Some $- 1 \cdot 3 x$ e $1 \cdot 3 x$ .

$12 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x) + 0 + 1 \cdot - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.11.3

Some $3 x (3 x)$ e $0$ .

$12 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x) + 1 \cdot - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 x^{2} - 4 x + 3 \cdot 3 x \cdot x + 1 \cdot - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.12.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.12.2.1

Mova $x$ .

$12 x^{2} - 4 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.12.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$12 x^{2} - 4 x + 3 \cdot 3 x^{2} + 1 \cdot - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.12.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$12 x^{2} - 4 x + 9 x^{2} + 1 \cdot - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.12.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$12 x^{2} - 4 x + 9 x^{2} - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.2

Some $12 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$21 x^{2} - 4 x - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} (x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore ${(3 x - 1)}^{2}$ de $x (3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ .

$21 x^{2} - 4 x - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} ({(3 x - 1)}^{2} (x (3 x + 1)))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$21 x^{2} - 4 x - 1 = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} ({(3 x - 1)}^{2} (x (3 x + 1)))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$21 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (x (3 x + 1))$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$21 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (x (3 x) + x \cdot 1)$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$21 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (3 x \cdot x + x \cdot 1)$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$21 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (3 x \cdot x + x)$

Etapa 3.3.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.4.1

Mova $x$ .

$21 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (3 (x \cdot x) + x)$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$21 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (3 x^{2} + x)$

Etapa 3.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$21 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (3 x^{2}) + 4 x$

Etapa 3.3.6

Multiplique $3$ por $4$ .

$21 x^{2} - 4 x - 1 = 12 x^{2} + 4 x$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $12 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$21 x^{2} - 4 x - 1 - 12 x^{2} = 4 x$

Etapa 4.1.2

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$21 x^{2} - 4 x - 1 - 12 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 4.1.3

Subtraia $12 x^{2}$ de $21 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 4 x - 1 - 4 x = 0$

Etapa 4.1.4

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$9 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot - 1 = - 9$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 4.2.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$9 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva $- 8$ como $1$ mais $- 9$

$9 x^{2} + (1 - 9) x - 1 = 0$

Etapa 4.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} + 1 x - 9 x - 1 = 0$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$9 x^{2} + x - 9 x - 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(9 x^{2} + x) - 9 x - 1 = 0$

Etapa 4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (9 x + 1) - (9 x + 1) = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 x + 1$ .

$(9 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$9 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4.4

Defina $9 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Defina $9 x + 1$ como igual a $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $9 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$9 x = - 1$

Etapa 4.4.2.2

Divida cada termo em $9 x = - 1$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.1

Divida cada termo em $9 x = - 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Etapa 4.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Etapa 4.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Etapa 4.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{9}$

Etapa 4.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $(9 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{9}, 1$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1}{9}, 1$

Forma decimal:

$x = - 0.\overline{1}, 1$