Álgebra Exemplos

$\log_{5} (2 x^{2} - 1) - \log_{5} (x + 2) = 0$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{2 x^{2} - 1}{x + 2}) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (\frac{2 x^{2} - 1}{x + 2}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{2 x^{2} - 1}{x + 2}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$2 x^{2} - 1 = 5^{0} (x + 2)$

Etapa 4

Simplifique $5^{0} (x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 x^{2} - 1 = 1 (x + 2)$

Etapa 4.2

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$2 x^{2} - 1 = x + 2$

Etapa 5

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 1 - x = 2$

Etapa 6

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reordene os termos.

$2 x^{2} - x - 1 = 2$

Etapa 6.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 2$

Etapa 6.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 2$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 2$

Etapa 6.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 2$

Etapa 6.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 2$

Etapa 6.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 2$

Etapa 6.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 2$

Etapa 7

Simplifique $(2 x + 1) (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Expanda $(2 x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (x - 1) + 1 (x - 1) = 2$

Etapa 7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 2$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 2$

Etapa 7.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 2$

Etapa 7.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 2$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 2$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 1 = 2$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x - 1 = 2$

Etapa 7.2.2

Some $- 2 x$ e $x$ .

$2 x^{2} - x - 1 = 2$

Etapa 8

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - x - 1 - 2 = 0$

Etapa 9

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Etapa 10

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Etapa 10.1.2

Reescreva $- 1$ como $2$ mais $- 3$

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Etapa 10.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Etapa 10.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Etapa 10.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Etapa 10.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Etapa 12

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 13

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 13.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 13.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 13.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$x = - 1, 1.5$

Forma de número misto:

$x = - 1, 1 \frac{1}{2}$