Álgebra Exemplos

$\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $arccsc ({(2)}^{- 1})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Portanto, $\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$ é $\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$ .

$\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(2^{- 1})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{- 1 \cdot 2} - 1} \cdot 2$

Etapa 2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sqrt{2^{- 2} - 1} \cdot 2$

Etapa 3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - 1} \cdot 2$

Etapa 4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1} \cdot 2$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{1 - 4}{4}} \cdot 2$

Etapa 8.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\sqrt{\frac{- 3}{4}} \cdot 2$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sqrt{- \frac{3}{4}} \cdot 2$

Etapa 10

Reescreva $- \frac{3}{4}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 10.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{3}{4}} \cdot 2$

Etapa 10.2

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $3$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}} \cdot 2$

Etapa 10.3

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}} \cdot 2$

Etapa 10.4

Reorganize a fração $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)} \cdot 2$

Etapa 10.5

Reescreva $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ como ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3} \cdot 2$

Etapa 11

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{i}{2} \sqrt{3} \cdot 2$

Etapa 12

Combine $\frac{i}{2}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum.

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Etapa 13.2

Reescreva a expressão.

$i \sqrt{3}$