Álgebra Exemplos

$\log_{7} (2 x^{2} - 2) - \log_{7} (x + 1) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{2 x^{2} - 2}{x + 1}) = 1$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 2$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x^{2}) - 2}{x + 1}) = 1$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{x + 1}) = 1$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x^{2} - 1)}{x + 1}) = 1$

Etapa 1.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{x + 1}) = 1$

Etapa 1.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{7} (\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\log_{7} (\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{x + 1}) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Divida $2 (x - 1)$ por $1$ .

$\log_{7} (2 (x - 1)) = 1$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{7} (2 x + 2 \cdot - 1) = 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\log_{7} (2 x - 2) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{7} (2 x - 2) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{1} = 2 x - 2$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 x - 2 = 7^{1}$ .

$2 x - 2 = 7$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x = 7 + 2$

Etapa 3.2.2

Some $7$ e $2$ .

$2 x = 9$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $2 x = 9$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $2 x = 9$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{9}{2}$

Forma decimal:

$x = 4.5$

Forma de número misto:

$x = 4 \frac{1}{2}$