Álgebra Exemplos

${(1 + i)}^{5} {(1 - i)}^{5}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$(1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$(1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $10$ por $1$ .

$(1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.7

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.9

Multiplique $10$ por $1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.10

Fatore $i^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.11

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.12

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.13

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.14

Multiplique $5$ por $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.15

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.15.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.15.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.15.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.16

Multiplique $5$ por $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.17

Fatore $i^{4}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.18

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.18.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.18.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.18.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.1.19

Multiplique $i$ por $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $10$ de $1$ .

$(- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.2.2

Some $- 9$ e $5$ .

$(- 4 + 5 i - 10 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.2.3

Subtraia $10 i$ de $5 i$ .

$(- 4 - 5 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 2.2.4

Some $- 5 i$ e $i$ .

$(- 4 - 4 i) {(1 - i)}^{5}$

Etapa 3

Use o teorema binomial.

$(- 4 - 4 i) (1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.6

Multiplique $10$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.7

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.9

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.10

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.11

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.13

Multiplique $10$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.14

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.16

Fatore $i^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.17

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.18

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.20

Multiplique $i$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.21

Multiplique $5$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.22

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.23

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.24

Multiplique $i^{4}$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.25

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.25.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.25.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.25.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.26

Multiplique $5$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5})$

Etapa 4.1.27

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5})$

Etapa 4.1.28

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5})$

Etapa 4.1.29

Fatore $i^{4}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i))$

Etapa 4.1.30

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.30.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i))$

Etapa 4.1.30.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i))$

Etapa 4.1.30.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i))$

Etapa 4.1.31

Multiplique $i$ por $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i)$

Etapa 4.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $10$ de $1$ .

$(- 4 - 4 i) (- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i)$

Etapa 4.2.2

Some $- 9$ e $5$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 - 5 i + 10 i - i)$

Etapa 4.2.3

Some $- 5 i$ e $10 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 5 i - i)$

Etapa 4.2.4

Subtraia $i$ de $5 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$

Etapa 5

Expanda $(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (- 4 + 4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Etapa 6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$16 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Etapa 6.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$16 - 16 i - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Etapa 6.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 4 i (4 i)$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 4 i (4 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i i$

Etapa 6.1.4.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i)$

Etapa 6.1.4.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i^{1})$

Etapa 6.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{1 + 1}$

Etapa 6.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{2}$

Etapa 6.1.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 \cdot - 1$

Etapa 6.1.6

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i + 16$

Etapa 6.2

Some $16$ e $16$ .

$32 - 16 i + 16 i$

Etapa 6.3

Some $- 16 i$ e $16 i$ .

$32 + 0$

Etapa 6.4

Some $32$ e $0$ .

$32$