Álgebra Exemplos

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

Etapa 1

Defina $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ como igual a $0$ .

$- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- x^{3} + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{3} + 125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva $125$ como $- 1 (- 125)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (- 125)$ .

$- (x^{3} - 125) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $125$ como $5^{3}$ .

$- (x^{3} - 5^{3}) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.5.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $15 x$ de $15 x^{2} - 75 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Fatore $15 x$ de $15 x^{2}$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) - 75 x = 0$

Etapa 2.1.6.2

Fatore $15 x$ de $- 75 x$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (- 5) = 0$

Etapa 2.1.6.3

Fatore $15 x$ de $15 x (x) + 15 x (- 5)$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x - 5$ de $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Fatore $x - 5$ de $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x - 5$ de $15 x (x - 5)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $x - 5$ de $(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x) = 0$

Etapa 2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 5) (- 1 x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Etapa 2.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.9.1

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Etapa 2.1.9.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Etapa 2.1.9.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 25 + 15 x) = 0$

Etapa 2.1.10

Some $- 5 x$ e $15 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 x - 25) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ e cuja soma é $b = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1.1.1

Fatore $10$ de $10 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 (x) - 25) = 0$

Etapa 2.1.11.1.1.2

Reescreva $10$ como $5$ mais $5$

$(x - 5) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25) = 0$

Etapa 2.1.11.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 5) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25) = 0$

Etapa 2.1.11.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 5) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25) = 0$

Etapa 2.1.11.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 5) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5)) = 0$

Etapa 2.1.11.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 5$ .

$(x - 5) ((- x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.12.1

Fatore $- 1$ de $x$ .

$(- 1 (- x) - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.2

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$(- 1 (- x) - 1 \cdot 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (5)$ .

$- 1 (- x + 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.4

Eleve $- x + 5$ à potência de $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.5

Eleve $- x + 5$ à potência de $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 {(- x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.7

Some $1$ e $1$ .

$- 1 {(- x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- 1 {(- (x) + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.9

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x) - 1 \cdot - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.10

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.11

Reescreva $- (x - 5)$ como $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 {(- 1 (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.12

Aplique a regra do produto a $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 (1 {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.14

Multiplique ${(x - 5)}^{2}$ por $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 2.1.12.15

Eleve $x - 5$ à potência de $1$ .

$- 1 ((x - 5) {(x - 5)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.12.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 2} = 0$

Etapa 2.1.12.17

Some $1$ e $2$ .

$- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 {(x - 5)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Divida ${(x - 5)}^{3}$ por $1$ .

${(x - 5)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(x - 5)}^{3} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.4

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$ (Multiplicidade de $3$ )

Etapa 3