Álgebra Exemplos

$\frac{4}{2 x + 1} + \frac{1}{4 x^{2} - 1} = 3$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{4}{2 x + 1} + \frac{1}{{(2 x)}^{2} - 1} = 3$

Etapa 1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4}{2 x + 1} + \frac{1}{{(2 x)}^{2} - 1^{2}} = 3$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$\frac{4}{2 x + 1} + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 3$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 x + 1, (2 x + 1) (2 x - 1), 1$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $2 x + 1$ é o próprio $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $2 x - 1$ é o próprio $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) = 2 x - 1$

$(2 x - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O MMC de $2 x + 1, 2 x + 1, 2 x - 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(2 x + 1) (2 x - 1)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{4}{2 x + 1} + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 3$ por $(2 x + 1) (2 x - 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{2 x + 1} + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 3$ por $(2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{4}{2 x + 1} ((2 x + 1) (2 x - 1)) + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{2 x + 1} ((2 x + 1) (2 x - 1)) + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4 (2 x - 1) + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (2 x) + 4 \cdot - 1 + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + 4 \cdot - 1 + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$8 x - 4 + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.2.1.5

Cancele o fator comum de $(2 x + 1) (2 x - 1)$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$8 x - 4 + \frac{1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$8 x - 4 + 1 = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$8 x - 3 = 3 ((2 x + 1) (2 x - 1))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Expanda $(2 x + 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x - 3 = 3 (2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1))$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x - 3 = 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1))$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x - 3 = 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.2.1

Combine os termos opostos em $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $2 x \cdot - 1$ e $1 (2 x)$ .

$8 x - 3 = 3 (2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.2.1.2

Some $- 1 \cdot 2 x$ e $1 \cdot 2 x$ .

$8 x - 3 = 3 (2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.2.1.3

Some $2 x (2 x)$ e $0$ .

$8 x - 3 = 3 (2 x (2 x) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x - 3 = 3 (2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.2.2.1

Mova $x$ .

$8 x - 3 = 3 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.2.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x - 3 = 3 (2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 x - 3 = 3 (4 x^{2} + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.3.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$8 x - 3 = 3 (4 x^{2} - 1)$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x - 3 = 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique.

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Etapa 3.3.2.3.2.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$8 x - 3 = 12 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Etapa 3.3.2.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$8 x - 3 = 12 x^{2} - 3$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $12 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$8 x - 3 - 12 x^{2} = - 3$

Etapa 4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$8 x - 3 - 12 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 4.3

Combine os termos opostos em $8 x - 3 - 12 x^{2} + 3$ .

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Etapa 4.3.1

Some $- 3$ e $3$ .

$8 x - 12 x^{2} + 0 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $8 x - 12 x^{2}$ e $0$ .

$8 x - 12 x^{2} = 0$

Etapa 4.4

Fatore $4 x$ de $8 x - 12 x^{2}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $4 x$ de $8 x$ .

$4 x (2) - 12 x^{2} = 0$

Etapa 4.4.2

Fatore $4 x$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x (2) + 4 x (- 3 x) = 0$

Etapa 4.4.3

Fatore $4 x$ de $4 x (2) + 4 x (- 3 x)$ .

$4 x (2 - 3 x) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - 3 x = 0$

Etapa 4.6

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.7

Defina $2 - 3 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $2 - 3 x$ como igual a $0$ .

$2 - 3 x = 0$

Etapa 4.7.2

Resolva $2 - 3 x = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.7.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 3 x = - 2$

Etapa 4.7.2.2

Divida cada termo em $- 3 x = - 2$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 4.7.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 x = - 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 4.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 4.7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 4.7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 3}$

Etapa 4.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.7.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (2 - 3 x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 0, \frac{2}{3}$

Forma decimal:

$x = 0, 0.\overline{6}$