Álgebra Exemplos

$f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ como uma equação.

$y = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 y^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ .

$2 y^{- \frac{2}{3}} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ por $2$ .

$\frac{2 y^{- \frac{2}{3}}}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Mova $y^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{\frac{2}{3}}, 2$

Etapa 3.3.2

Como $y^{\frac{2}{3}}, 2$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $y^{\frac{2}{3}}, 2$ 1) e, depois, o da parte variável $y^{\frac{2}{3}}, 2$ .

Etapa 3.3.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.3.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.3.5

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 3.3.6

O MMC de $1, 2$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 3.3.7

O MMC de $y^{\frac{2}{3}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.3.8

O MMC de $y^{\frac{2}{3}}, 2$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ por $2 y^{\frac{2}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ por $2 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (2 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Etapa 3.4.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Etapa 3.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.3.2.2

Reescreva a expressão.

$2 = x y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ .

$x y^{\frac{2}{3}} = 2$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ por $x$ .

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

Etapa 3.5.2.2.2

Divida $y^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{x}$

Etapa 3.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.1.1.2

Simplifique.

$y = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{x}$ .

$y = \pm \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$

Etapa 5.3.2

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{3} \geq 0$

Etapa 5.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.3.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq 0$

Etapa 5.3.4

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Etapa 5.3.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{3} = 0^{2}$

Etapa 5.3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.3.5.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.5.3.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.3.5.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 5.3.6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.4.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$2 \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 5.4.2

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 5.4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 0^{3}$

Etapa 5.4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ é o intervalo de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ é o domínio de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6