Álgebra Exemplos

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$

Etapa 1

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$2 x^{2} (2 - x) = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.1

Simplifique $2 x^{2} (2 - x)$ .

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Etapa 2.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + 2 x^{2} (2 - x) = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} (- x) = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 x^{2} (- x) = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} x = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.1

Mova $x$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{1 + 2} = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.1.3.1.3

Some $1$ e $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = (x - 2) (- 7 x + 6)$

Etapa 2.2

Simplifique $(x - 2) (- 7 x + 6)$ .

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Etapa 2.2.1

Expanda $(x - 2) (- 7 x + 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = x (- 7 x + 6) - 2 (- 7 x + 6)$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = x (- 7 x) + x \cdot 6 - 2 (- 7 x + 6)$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = x (- 7 x) + x \cdot 6 - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 6$

Etapa 2.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x + x \cdot 6 - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Mova $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 (x \cdot x) + x \cdot 6 - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + x \cdot 6 - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.1.3

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 6 \cdot x - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 7$ por $- 2$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 6 x + 14 x - 2 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 6 x + 14 x - 12$

Etapa 2.2.2.2

Some $6 x$ e $14 x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 20 x - 12$

Etapa 2.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.1

Some $7 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} = 20 x - 12$

Etapa 2.3.2

Subtraia $20 x$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x = - 12$

Etapa 2.3.3

Some $4 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x = - 12$

Etapa 2.4

Some $12$ aos dois lados da equação.

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Etapa 2.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.5.1

Fatore $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.5.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2.5.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Etapa 2.5.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.5.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.5.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.5.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$- 16 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.5.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 16 + 11 \cdot 4 - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.5.1.3.5

Multiplique $11$ por $4$ .

$- 16 + 44 - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.5.1.3.6

Some $- 16$ e $44$ .

$28 - 20 \cdot 2 + 12$

Etapa 2.5.1.3.7

Multiplique $- 20$ por $2$ .

$28 - 40 + 12$

Etapa 2.5.1.3.8

Subtraia $40$ de $28$ .

$- 12 + 12$

Etapa 2.5.1.3.9

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 2.5.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12}{x - 2}$

Etapa 2.5.1.5

Divida $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ por $x - 2$ .

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Etapa 2.5.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$12$

Etapa 2.5.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$

Etapa 2.5.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 2.5.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 2.5.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Etapa 2.5.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Etapa 2.5.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Etapa 2.5.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Etapa 2.5.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x^{2} - 14 x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Etapa 2.5.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$

Etapa 2.5.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 2.5.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 2.5.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Etapa 2.5.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x + 12$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Etapa 2.5.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 2.5.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 2 x^{2} + 7 x - 6$

Etapa 2.5.1.6

Escreva $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Etapa 2.5.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.5.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.5.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot - 6 = 12$ e cuja soma é $b = 7$ .

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Etapa 2.5.2.1.1.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Etapa 2.5.2.1.1.2

Reescreva $7$ como $3$ mais $4$

$(x - 2) (- 2 x^{2} + (3 + 4) x - 6) = 0$

Etapa 2.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6) = 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.5.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 2) ((- 2 x^{2} + 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Etapa 2.5.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 2) (x (- 2 x + 3) - 2 (- 2 x + 3)) = 0$

Etapa 2.5.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x + 3$ .

$(x - 2) ((- 2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$

Etapa 2.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$- 2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.7

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.7.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.8

Defina $- 2 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.8.1

Defina $- 2 x + 3$ como igual a $0$ .

$- 2 x + 3 = 0$

Etapa 2.8.2

Resolva $- 2 x + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.8.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 3$

Etapa 2.8.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 3$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.8.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 2.8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 2.8.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 2.8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.8.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 2.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, \frac{3}{2}$

Etapa 3

Exclua as soluções que não tornam $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ verdadeira.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.5$

Forma de número misto:

$x = 1 \frac{1}{2}$