Álgebra Exemplos

$\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1} = - 3$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}$ como ${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = {(- 3)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = 9$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Substitua $u = y^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + 2 u + 1 = 9$

$u = y^{2}$

Etapa 3.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 2 u + 1 - 9 = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $9$ de $1$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $u^{2} + 2 u - 8$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $2$ .

$- 2, 4$

Etapa 3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

Etapa 3.6

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 3.7

Defina $u + 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $u + 4$ como igual a $0$ .

$u + 4 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$u = - 4$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 2) (u + 4) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, - 4$

Etapa 3.9

Substitua o valor real de $u = y^{2}$ de volta na equação resolvida.

$y^{2} = 2$

${(y^{2})}^{1} = - 4$

Etapa 3.10

Resolva a primeira equação para $y$ .

$y^{2} = 2$

Etapa 3.11

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 3.11.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.11.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.11.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2}$

Etapa 3.11.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2}$

Etapa 3.11.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 3.12

Resolva a segunda equação para $y$ .

${(y^{2})}^{1} = - 4$

Etapa 3.13

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 3.13.1

Remova os parênteses.

$y^{2} = - 4$

Etapa 3.13.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 3.13.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 3.13.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 3.13.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 3.13.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 3.13.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.13.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm i \cdot 2$

Etapa 3.13.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$y = \pm 2 i$

Etapa 3.13.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.13.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 2 i$

Etapa 3.13.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 2 i$

Etapa 3.13.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 2 i, - 2 i$

Etapa 3.14

A solução para $y^{4} + 2 y^{2} + 1 = 9$ é $y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2 i, - 2 i$ .

$y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2 i, - 2 i$