Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} \div \frac{x + \frac{1}{1 + x}}{x + \frac{x}{1 + x}}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x + 1$ e $b = x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1 + x) (x + 1 - x)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Some $x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) (x + 1 - x)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 2.2.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) (0 + 1)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 2.2.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 3

Multiplique $2 x + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $1 + x$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$ por $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}})$

Etapa 4.2

Combine.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) (x + \frac{x}{1 + x})}{(1 + x) (x + \frac{1}{1 + x})}$

Etapa 5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + (1 + x) \frac{x}{1 + x}}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 6

Simplifique cancelando.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + (1 + x) \frac{x}{1 + x}}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + 1}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $(1 + x) x + x$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $x$ de $(1 + x) x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x}{(1 + x) x + 1}$

Etapa 7.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x^{1}}{(1 + x) x + 1}$

Etapa 7.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x \cdot 1}{(1 + x) x + 1}$

Etapa 7.1.4

Fatore $x$ de $x (1 + x) + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x + 1)}{(1 + x) x + 1}$

Etapa 7.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{(1 + x) x + 1}$

Etapa 8

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{1 x + x \cdot x + 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + x \cdot x + 1}$

Etapa 8.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + x^{2} + 1}$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + x + 1$ .

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

Etapa 9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 x + 1} (x (x + 2))$

Etapa 9.2

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (x + 2)$

Etapa 9.3

Multiplique $\frac{x}{2 x + 1}$ por $x + 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{2 x + 1}$