Álgebra Exemplos

$\sqrt[3]{x + 5} = x - 1$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 5)}^{1} = {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$x + 5 = {(x - 1)}^{3}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique ${(x - 1)}^{3}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Use o teorema binomial.

$x + 5 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.3.1.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.3.1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Etapa 2.3.1.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x + 5$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = 5$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = 5$

Etapa 3.3

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 - 5 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Etapa 3.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.5.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.5.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} - 3 x^{2}) + 2 x - 6 = 0$

Etapa 3.5.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x - 3) + 2 (x - 3) = 0$

Etapa 3.5.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 3.7

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.8

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 3.8.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.8.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 3.8.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Etapa 3.8.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 3.8.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 3.8.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 3.8.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.8.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 3.8.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 3.8.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$