Álgebra Exemplos

$f (x) < - \sqrt{x + 2} - 4$

Etapa 1

Subtraia $f (x)$ dos dois lados da desigualdade.

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Etapa 2

Encontre a inclinação e a intersecção com o eixo y da linha limítrofe.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva na forma reduzida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

A forma reduzida é $y = m x + b$ , em que $m$ é a inclinação e $b$ é a intersecção com o eixo y.

$y = m x + b$

Etapa 2.1.2

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x) > 0$

Etapa 2.1.3

Mova todos os termos que não contêm $- \sqrt{x + 2}$ para o lado direito da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Some $4$ aos dois lados da desigualdade.

$- \sqrt{x + 2} - f (x) > 4$

Etapa 2.1.3.2

Some $f (x)$ aos dois lados da desigualdade.

$- \sqrt{x + 2} > 4 + f (x)$

Etapa 2.1.4

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1

Simplifique ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5.2.1.3

Multiplique ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 2)}^{1} > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5.2.1.5

Simplifique.

$x + 2 > {(4 + f (x))}^{2}$

Etapa 2.1.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.3.1

Simplifique ${(4 + f (x))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.3.1.1

Reescreva ${(4 + f (x))}^{2}$ como $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ .

$x + 2 > (4 + f (x)) (4 + f (x))$

Etapa 2.1.5.3.1.2

Expanda $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 2 > 4 (4 + f (x)) + f (x) (4 + f (x))$

Etapa 2.1.5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) (4 + f (x))$

Etapa 2.1.5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Etapa 2.1.5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.3.1.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Etapa 2.1.5.3.1.3.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 \cdot f (x) + f (x) f (x)$

Etapa 2.1.5.3.1.3.1.3

Multiplique $f (x) f (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.3.1.3.1.3.1

Eleve $f (x)$ à potência de $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} f (x)$

Etapa 2.1.5.3.1.3.1.3.2

Eleve $f (x)$ à potência de $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} {f (x)}^{1}$

Etapa 2.1.5.3.1.3.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1 + 1}$

Etapa 2.1.5.3.1.3.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{2}$

Etapa 2.1.5.3.1.3.2

Some $4 f (x)$ e $4 f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 8 f (x) + {f (x)}^{2}$

Etapa 2.1.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Reescreva de forma que $x$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$16 + 8 f x + f x^{2} < x + 2$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $x$ dos dois lados da desigualdade.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x < 2$

Etapa 2.1.6.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.3.1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x - 2 < 0$

Etapa 2.1.6.3.2

Subtraia $2$ de $16$ .

$8 f x + f x^{2} - x + 14 < 0$

Etapa 2.1.6.4

Converta a desigualdade em uma equação.

$8 f x + f x^{2} - x + 14 = 0$

Etapa 2.1.6.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.1.6.6

Substitua os valores $a = f$ , $b = 8 f - 1$ e $c = 14$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- (8 f - 1) \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot (f \cdot 14)}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.4

Reescreva ${(8 f - 1)}^{2}$ como $(8 f - 1) (8 f - 1)$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.5

Expanda $(8 f - 1) (8 f - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.7.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.7.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.7.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.6.1.2

Multiplique $f$ por $f$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.7.6.1.2.1

Mova $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.6.1.2.2

Multiplique $f$ por $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.6.1.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.6.1.5

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.6.2

Subtraia $8 f$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.7

Multiplique $14$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.7.8

Subtraia $56 f$ de $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.8.1

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.8.2

Fatore $- 1$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- (8 f) + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.8.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.8.4

Fatore $- 1$ de $- (8 f) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.8.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Etapa 2.1.6.8.6

Fatore $- 1$ de $- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Etapa 2.1.6.8.7

Reescreva $- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ como $- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Etapa 2.1.6.8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.4

Reescreva ${(8 f - 1)}^{2}$ como $(8 f - 1) (8 f - 1)$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.5

Expanda $(8 f - 1) (8 f - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.9.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.9.1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.9.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.6.1.2

Multiplique $f$ por $f$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.9.1.6.1.2.1

Mova $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.6.1.2.2

Multiplique $f$ por $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.6.1.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.6.1.5

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.6.2

Subtraia $8 f$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.7

Multiplique $14$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.1.8

Subtraia $56 f$ de $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.2

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.3

Fatore $- 1$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- (8 f) + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.5

Fatore $- 1$ de $- (8 f) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.7

Fatore $- 1$ de $- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.8

Reescreva $- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ como $- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Etapa 2.1.6.9.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.6.10

Consolide as soluções.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.1.7

Reescreva na forma reduzida.

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Etapa 2.2

A equação não é linear, então uma inclinação constante não existe.

Não linear

Etapa 3

Represente uma linha tracejada em um gráfico e, depois, sombreie a área abaixo da linha limítrofe, pois $y$ é menor do que $- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$ .

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Etapa 4