Álgebra Exemplos

$2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Etapa 1

Reordene $3$ e $- x$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot 8)$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 (4)))$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4))$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (4)$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1

Simplifique $2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4)$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (x^{2}) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Etapa 4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3}) - \ln (4) = 0$

Etapa 4.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{- x + 3}}{4}) = 0$

Etapa 4.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3} \cdot \frac{1}{4}) = 0$

Etapa 4.1.5

Multiplique $\frac{x^{2}}{- x + 3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{(- x + 3) \cdot 4}) = 0$

Etapa 4.1.6

Mova $4$ para a esquerda de $- x + 3$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$

Etapa 5

Reescreva $\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}$

Etapa 6

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} = e^{0} (4 (- x + 3))$

Etapa 7

Simplifique $e^{0} (4 (- x + 3))$ .

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Etapa 7.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{2} = 1 (4 (- x + 3))$

Etapa 7.1.2

Multiplique $4 (- x + 3)$ por $1$ .

$x^{2} = 4 (- x + 3)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = 4 (- x) + 4 \cdot 3$

Etapa 7.3

Multiplique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$x^{2} = - 4 x + 4 \cdot 3$

Etapa 7.3.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$x^{2} = - 4 x + 12$

Etapa 8

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 4 x = 12$

Etapa 9

Fatore $x$ de $x^{2} + 4 x$ .

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Etapa 9.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 12$

Etapa 9.2

Fatore $x$ de $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Etapa 9.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 12$

Etapa 10

Simplifique $x (x + 4)$ .

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Etapa 10.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 = 12$

Etapa 10.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 4 x = 12$

Etapa 11

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Etapa 12

Fatore $x^{2} + 4 x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 12.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $4$ .

$- 2, 6$

Etapa 12.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 6) = 0$

Etapa 13

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 14

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 14.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 15

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 15.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 15.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 16

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 6$

Etapa 17

Exclua as soluções que não tornam $2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$ verdadeira.

$x = 2$