Álgebra Exemplos

$y^{6 a} + 65 y^{3 a} + 64$

Etapa 1

Reescreva $y^{6 a}$ como ${(y^{3 a})}^{2}$ .

${(y^{3 a})}^{2} + 65 y^{3 a} + 64$

Etapa 2

Deixe $u = y^{3 a}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y^{3 a}$ .

$u^{2} + 65 u + 64$

Etapa 3

Fatore $u^{2} + 65 u + 64$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $64$ e cuja soma é $65$ .

$1, 64$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u + 1) (u + 64)$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{3 a}$ .

$(y^{3 a} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Etapa 5

Reescreva $y^{3 a}$ como ${(y^{a})}^{3}$ .

$({(y^{a})}^{3} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Etapa 6

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$({(y^{a})}^{3} + 1^{3}) (y^{3 a} + 64)$

Etapa 7

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = y^{a}$ e $b = 1$ .

$(y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{2} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{a})}^{2}$ .

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Etapa 8.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{a \cdot 2} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Etapa 8.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $a$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Etapa 8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

Etapa 8.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) (y^{3 a} + 64)$

Etapa 9

Reescreva $y^{3 a}$ como ${(y^{a})}^{3}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{3} + 64)$

Etapa 10

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{3} + 4^{3})$

Etapa 11

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = y^{a}$ e $b = 4$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) ({(y^{a})}^{2} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Etapa 12

Fatore.

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Etapa 12.1

Simplifique.

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Etapa 12.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{a})}^{2}$ .

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Etapa 12.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{a \cdot 2} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Etapa 12.1.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $a$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

Etapa 12.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 4^{2}))$

Etapa 12.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 16))$

Etapa 12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) (y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 16)$