Álgebra Exemplos

$\sqrt{4 x - 7} - \sqrt{2 x} = 1$

Etapa 1

Some $\sqrt{2 x}$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{4 x - 7} = 1 + \sqrt{2 x}$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 x - 7}}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x - 7}$ como ${(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 x - 7)}^{1} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$4 x - 7 = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$ .

$4 x - 7 = (1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 7 = 1 (1 + \sqrt{2 x}) + \sqrt{2 x} (1 + \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 7 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} (1 + \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x - 7 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$4 x - 7 = 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Multiplique $\sqrt{2 x}$ por $1$ .

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $\sqrt{2 x}$ por $1$ .

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Etapa 3.3.1.3.1.4

Multiplique $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.4.1

Eleve $\sqrt{2 x}$ à potência de $1$ .

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.2

Eleve $\sqrt{2 x}$ à potência de $1$ .

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{2 x}}^{2}$ como $2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.5

Simplifique.

$4 x - 7 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + 2 x$

Etapa 3.3.1.3.2

Some $\sqrt{2 x}$ e $\sqrt{2 x}$ .

$4 x - 7 = 1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Etapa 4

Resolva $2 \sqrt{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x - 7$ .

$1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x - 7$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $2 \sqrt{2 x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x - 7 - 1$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 \sqrt{2 x} = 4 x - 7 - 1 - 2 x$

Etapa 4.2.3

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$2 \sqrt{2 x} = 2 x - 7 - 1$

Etapa 4.2.4

Subtraia $1$ de $- 7$ .

$2 \sqrt{2 x} = 2 x - 8$

Etapa 5

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique ${(2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

${(2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.2

Multiplique $2^{\frac{1}{2}}$ por $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${(2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.5

Some $1$ e $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a regra do produto a $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.6.2.2

Reescreva a expressão.

$8 x^{1} = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.2.1.7

Simplifique.

$8 x = {(2 x - 8)}^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique ${(2 x - 8)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Reescreva ${(2 x - 8)}^{2}$ como $(2 x - 8) (2 x - 8)$ .

$8 x = (2 x - 8) (2 x - 8)$

Etapa 6.3.1.2

Expanda $(2 x - 8) (2 x - 8)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = 2 x (2 x - 8) - 8 (2 x - 8)$

Etapa 6.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 8 - 8 (2 x - 8)$

Etapa 6.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 8 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 8$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 8 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 8$

Etapa 6.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$8 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 8 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 8$

Etapa 6.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 8 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 8$

Etapa 6.3.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$8 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 8 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 8$

Etapa 6.3.1.3.1.4

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$8 x = 4 x^{2} - 16 x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 8$

Etapa 6.3.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$8 x = 4 x^{2} - 16 x - 16 x - 8 \cdot - 8$

Etapa 6.3.1.3.1.6

Multiplique $- 8$ por $- 8$ .

$8 x = 4 x^{2} - 16 x - 16 x + 64$

Etapa 6.3.1.3.2

Subtraia $16 x$ de $- 16 x$ .

$8 x = 4 x^{2} - 32 x + 64$

Etapa 7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$4 x^{2} - 32 x + 64 = 8 x$

Etapa 7.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 32 x + 64 - 8 x = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $8 x$ de $- 32 x$ .

$4 x^{2} - 40 x + 64 = 0$

Etapa 7.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 40 x + 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 40 x + 64 = 0$

Etapa 7.3.1.2

Fatore $4$ de $- 40 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 10 x) + 64 = 0$

Etapa 7.3.1.3

Fatore $4$ de $64$ .

$4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot 16 = 0$

Etapa 7.3.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 10 x)$ .

$4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 16 = 0$

Etapa 7.3.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 16$ .

$4 (x^{2} - 10 x + 16) = 0$

Etapa 7.3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Fatore $x^{2} - 10 x + 16$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 8, - 2$

Etapa 7.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 ((x - 8) (x - 2)) = 0$

Etapa 7.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 8) (x - 2) = 0$

Etapa 7.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 7.5

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 7.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 7.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 8) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 8, 2$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{4 x - 7} - \sqrt{2 x} = 1$ verdadeira.

$x = 8$