Álgebra Exemplos

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \div \frac{x^{2} + 2 x - 15}{x^{2} + 5 x}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 2.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 2.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $x^{2} + 9$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 3.2

Divida $(x + 3) (x - 3)$ por $1$ .

$(x + 3) (x - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 4

Expanda $(x + 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x (x - 3) + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Etapa 5.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$(x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 5.1.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$(x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 5.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 5.2

Fatore $x$ de $x^{2} + 5 x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 5.2.2

Fatore $x$ de $5 x$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 5.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Etapa 6

Fatore $x^{2} + 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $2$ .

$- 3, 5$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Etapa 7.2

Simplifique os termos.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Etapa 7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$(x^{2} - 9) \frac{x}{x - 3}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $x^{2} - 9$ por $\frac{x}{x - 3}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) x}{x - 3}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 3^{2}) x}{x - 3}$

Etapa 8.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

Etapa 9.1.2

Divida $(x + 3) x$ por $1$ .

$(x + 3) x$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + 3 x$

Etapa 9.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 3 x$