Álgebra Exemplos

$16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8} = {(\frac{1}{32})}^{2 y - 3}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 2

Reescreva $\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8})$ como $\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8})$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{1}{8})$ como $\ln (1) - \ln (8)$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 4

Expanda $\ln (16^{- 3 y})$ movendo $- 3 y$ para fora do logaritmo.

$- 3 y \ln (16) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 6

Reescreva $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (2^{3}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 7

Expanda $\ln (2^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$- 3 y \ln (16) + 0 - (3 \ln (2)) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 9

Subtraia $3 \ln (2)$ de $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Etapa 10

Expanda $\ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$ movendo $2 y - 3$ para fora do logaritmo.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) \ln (\frac{1}{32})$

Etapa 11

Reescreva $\ln (\frac{1}{32})$ como $\ln (1) - \ln (32)$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (\ln (1) - \ln (32))$

Etapa 12

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (32))$

Etapa 13

Reescreva $\ln (32)$ como $\ln (2^{5})$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (2^{5}))$

Etapa 14

Expanda $\ln (2^{5})$ movendo $5$ para fora do logaritmo.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - (5 \ln (2)))$

Etapa 15

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - 5 \ln (2))$

Etapa 16

Subtraia $5 \ln (2)$ de $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (- 5 \ln (2))$

Etapa 17

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 17.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = 2 y (- 5 \ln (2)) - 3 (- 5 \ln (2))$

Etapa 17.1.2

Multiplique.

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Etapa 17.1.2.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) - 3 (- 5 \ln (2))$

Etapa 17.1.2.2

Multiplique $- 5$ por $- 3$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Etapa 17.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 17.2.1

Simplifique $- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2)$ .

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Etapa 17.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.2.1.1.1

Simplifique $- 3 \ln (16)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$y (- \ln (16^{3})) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Etapa 17.2.1.1.2

Eleve $16$ à potência de $3$ .

$y (- \ln (4096)) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Etapa 17.2.1.1.3

Simplifique $- 3 \ln (2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$y (- \ln (4096)) - \ln (2^{3}) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Etapa 17.2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y (- \ln (4096)) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Etapa 17.2.1.2

Reordene os fatores em $y (- \ln (4096)) - \ln (8)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Etapa 17.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.3.1

Simplifique $- 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$ .

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Etapa 17.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.3.1.1.1

Simplifique $- 10 \ln (2)$ movendo $10$ para dentro do logaritmo.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (2^{10})) + 15 \ln (2)$

Etapa 17.3.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $10$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + 15 \ln (2)$

Etapa 17.3.1.1.3

Simplifique $15 \ln (2)$ movendo $15$ para dentro do logaritmo.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (2^{15})$

Etapa 17.3.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $15$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$

Etapa 17.3.1.2

Reordene os fatores em $y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - y \ln (1024) + \ln (32768)$

Etapa 17.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- y \ln (4096) - \ln (8) + y \ln (1024) - \ln (32768) = 0$

Etapa 17.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 17.5.1

Some $\ln (8)$ aos dois lados da equação.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) - \ln (32768) = \ln (8)$

Etapa 17.5.2

Some $\ln (32768)$ aos dois lados da equação.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Etapa 17.6

Fatore $y$ de $- y \ln (4096) + y \ln (1024)$ .

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Etapa 17.6.1

Fatore $y$ de $- y \ln (4096)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Etapa 17.6.2

Fatore $y$ de $y \ln (1024)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Etapa 17.6.3

Fatore $y$ de $y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024))$ .

$y (- 1 \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Etapa 17.7

Reescreva $- 1 \ln (4096)$ como $- \ln (4096)$ .

$y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Etapa 17.8

Divida cada termo em $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ por $- \ln (4096) + \ln (1024)$ e simplifique.

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Etapa 17.8.1

Divida cada termo em $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ por $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Etapa 17.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 17.8.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

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Etapa 17.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Etapa 17.8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Etapa 17.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Etapa 17.8.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (4096)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Etapa 17.8.3.3

Fatore $- 1$ de $\ln (1024)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))}$

Etapa 17.8.3.4

Fatore $- 1$ de $- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Etapa 17.8.3.5

Reescreva os negativos.

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Etapa 17.8.3.5.1

Reescreva $- (\ln (4096) - \ln (1024))$ como $- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Etapa 17.8.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Etapa 18

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Forma decimal:

$y = - 9.000000000000 \dots$