Álgebra Exemplos

$\log_{2} (\frac{3}{25}) + 5 \log_{2} (5) + \log_{2} (27) - \log_{2} (\frac{125}{12}) - \log_{2} (243)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot 27) - \log_{2} (\frac{125}{12}) - \log_{2} (243)$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}) - \log_{2} (243)$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \log_{2} (5) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Simplifique $5 \log_{2} (5)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\log_{2} (5^{5}) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Etapa 4.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}}}{243})$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25} \cdot 27}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{243})$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $27$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $27$ de $\frac{3}{25} \cdot 27$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{243})$

Etapa 4.4.2

Fatore $27$ de $243$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{27 (9)})$

Etapa 4.4.3

Cancele o fator comum.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{27 \cdot \frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{27 \cdot 9})$

Etapa 4.4.4

Reescreva a expressão.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12}} \cdot \frac{1}{9})$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12}}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125}{12} \cdot 9})$

Etapa 4.6

Combine $\frac{125}{12}$ e $9$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{125 \cdot 9}{12}})$

Etapa 4.7

Multiplique $125$ por $9$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{1125}{12}})$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $1125$ e $12$ .

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Etapa 4.8.1

Fatore $3$ de $1125$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 (375)}{12}})$

Etapa 4.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.8.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 \cdot 375}{3 \cdot 4}})$

Etapa 4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{3 \cdot 375}{3 \cdot 4}})$

Etapa 4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{\frac{3}{25}}{\frac{375}{4}})$

Etapa 4.9

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{375})$

Etapa 4.10

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.10.1

Fatore $3$ de $375$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{3 (125)})$

Etapa 4.10.2

Cancele o fator comum.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{3}{25} \cdot \frac{4}{3 \cdot 125})$

Etapa 4.10.3

Reescreva a expressão.

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{1}{25} \cdot \frac{4}{125})$

Etapa 4.11

Multiplique $\frac{1}{25}$ por $\frac{4}{125}$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{4}{25 \cdot 125})$

Etapa 4.12

Multiplique $25$ por $125$ .

$\log_{2} (3125) + \log_{2} (\frac{4}{3125})$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (3125 (\frac{4}{3125}))$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $3125$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$\log_{2} (3125 (\frac{4}{3125}))$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$\log_{2} (4)$

Etapa 7

A base do logaritmo $2$ de $4$ é $2$ .

$2$