Álgebra Exemplos

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2} = 1$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2}) = \ln (1)$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2})$ movendo $x^{2} - x - 2$ para fora do logaritmo.

$(x^{2} - x - 2) \ln (\frac{1}{2}) = \ln (1)$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\frac{1}{2})$ como $\ln (1) - \ln (2)$ .

$(x^{2} - x - 2) (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (1)$

Etapa 2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (0 - \ln (2)) = \ln (1)$

Etapa 2.4

Subtraia $\ln (2)$ de $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2)) = \ln (1)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(x^{2} - x - 2) (- \ln (2))$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (- \ln (2)) - x (- \ln (2)) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Multiplique $- x (- \ln (2))$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + 1 x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Etapa 3.1.3

Reordene os fatores em $x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2)$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = - \ln (2)$ , $b = \ln (2)$ e $c = 2 \ln (2)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) - 4 \cdot (- \ln (2) \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Fatore $\ln (2)$ de $\ln^{2} (2) - 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ .

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Etapa 7.1.1.1

Fatore $\ln (2)$ de $\ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) - 4 \cdot (- 1 \ln (2)) \cdot (2 \ln (2))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.1.2

Fatore $\ln (2)$ de $- 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.1.3

Fatore $\ln (2)$ de $\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.2

Fatore $\ln (2)$ de $\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ .

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Etapa 7.1.2.1

Eleve $\ln (2)$ à potência de $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $\ln (2)$ de $\ln^{1} (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $\ln (2)$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.2.4

Fatore $\ln (2)$ de $\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 - 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot 2$ .

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Etapa 7.1.3.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 4 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 8))}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.4

Some $1$ e $8$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.5

Combine expoentes.

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Etapa 7.1.5.1

Eleve $\ln (2)$ à potência de $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.5.2

Eleve $\ln (2)$ à potência de $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{\ln (2)}^{1 + 1} \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.5.4

Some $1$ e $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.6

Reescreva $\ln^{2} (2) \cdot 9$ como ${(\ln (2) \cdot 3)}^{2}$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{(\ln (2) \cdot 3)}^{2}}}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \ln (2) \cdot 3}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.1.8

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{2 (- \ln (2))}$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$ .

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2, - 1$