Álgebra Exemplos

$\log_{6} (x^{2} - 4) - \log_{6} (3 x + 6) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 6}) = 0$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 6}) = 0$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 6}) = 0$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Fatore $3$ de $3 x + 6$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x) + 6}) = 0$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Etapa 1.3.1.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x + 2)}) = 0$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x + 2)}) = 0$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\log_{6} (\frac{x - 2}{3}) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{6} (\frac{x - 2}{3}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{x - 2}{3}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{x - 2}{3} = 6^{0}$ .

$\frac{x - 2}{3} = 6^{0}$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{x - 2}{3} = 3 \cdot 6^{0}$

Etapa 3.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{x - 2}{3} = 3 \cdot 6^{0}$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x - 2 = 3 \cdot 6^{0}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique $3 \cdot 6^{0}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x - 2 = 3 \cdot 1$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$x - 2 = 3$

Etapa 3.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 3 + 2$

Etapa 3.4.2

Some $3$ e $2$ .

$x = 5$