Álgebra Exemplos

$\log_{6} (3 x^{2} - 3) - \log_{6} (2 x + 5) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{3 x^{2} - 3}{2 x + 5}) = 0$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 3$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x + 5}) = 0$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x + 5}) = 0$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x + 5}) = 0$

Etapa 1.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x + 5}) = 0$

Etapa 1.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$3 (x + 1) (x - 1) = 6^{0} (2 x + 5)$

Etapa 4

Simplifique $6^{0} (2 x + 5)$ .

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Etapa 4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$3 (x + 1) (x - 1) = 1 (2 x + 5)$

Etapa 4.2

Multiplique $2 x + 5$ por $1$ .

$3 (x + 1) (x - 1) = 2 x + 5$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$3 (x + 1) (x - 1) - 2 x = 5$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x + 3 \cdot 1) (x - 1) - 2 x = 5$

Etapa 5.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$(3 x + 3) (x - 1) - 2 x = 5$

Etapa 5.2.3

Expanda $(3 x + 3) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x (x - 1) + 3 (x - 1) - 2 x = 5$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 (x - 1) - 2 x = 5$

Etapa 5.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Etapa 5.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.4.1.1.1

Mova $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Etapa 5.2.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Etapa 5.2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Etapa 5.2.4.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 x - 3 - 2 x = 5$

Etapa 5.2.4.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$3 x^{2} + 0 - 3 - 2 x = 5$

Etapa 5.2.4.3

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} - 3 - 2 x = 5$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 2 x = 5 + 3$

Etapa 6.2

Some $5$ e $3$ .

$3 x^{2} - 2 x = 8$

Etapa 7

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 8.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 8.1.2

Reescreva $- 2$ como $4$ mais $- 6$

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

Etapa 8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

Etapa 8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 10

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $3 x + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 4$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 11

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 11.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Forma decimal:

$x = - 1.\overline{3}, 2$

Forma de número misto:

$x = - 1 \frac{1}{3}, 2$