Álgebra Exemplos

$2 x^{3} + 2 x - 3 = - 0.5 | x - 4 |$

Etapa 1

Reescreva a equação como $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ .

$- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$

Etapa 2

Divida cada termo em $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ por $- 0.5$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ por $- 0.5$ .

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $- 0.5$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $| x - 4 |$ por $1$ .

$| x - 4 | = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$| x - 4 | = - \frac{2 x^{3}}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.2

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.3

Fatore $0.5$ de $0.5$ .

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5 (1)} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.4

Separe as frações.

$| x - 4 | = - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.5

Divida $2$ por $0.5$ .

$| x - 4 | = - (4 \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.6

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$| x - 4 | = - (4 x^{3}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 x}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.9

Fatore $2$ de $2 x$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.10

Fatore $0.5$ de $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5 (1)} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.11

Separe as frações.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.12

Divida $2$ por $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.13

Divida $x$ por $1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 x) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.14

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + \frac{- 3}{- 0.5}$

Etapa 2.3.1.15

Divida $- 3$ por $- 0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Etapa 3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Etapa 4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x - 4 = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Etapa 4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x - 4 = - (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Etapa 4.3

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Etapa 4.4

Simplifique $- (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$ .

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Etapa 4.4.1

Reescreva.

$0 + 0 - (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Etapa 4.4.2

Simplifique somando os zeros.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Etapa 4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (- 4 x^{3}) - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Etapa 4.4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4 x^{3} - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Etapa 4.4.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 6 = x - 4$

Etapa 4.4.4.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$4 x^{3} + 4 x - 6 = x - 4$

Etapa 4.5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.5.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} + 4 x - 6 - x = - 4$

Etapa 4.5.2

Subtraia $x$ de $4 x$ .

$4 x^{3} + 3 x - 6 = - 4$

Etapa 4.6

Some $4$ aos dois lados da equação.

$4 x^{3} + 3 x - 6 + 4 = 0$

Etapa 4.7

Some $- 6$ e $4$ .

$4 x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Etapa 4.8

Fatore $4 x^{3} + 3 x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.8.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 4.8.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Etapa 4.8.3

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.8.3.1

Substitua $0.5$ no polinômio.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Etapa 4.8.3.2

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Etapa 4.8.3.3

Multiplique $4$ por $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Etapa 4.8.3.4

Multiplique $3$ por $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Etapa 4.8.3.5

Some $0.5$ e $1.5$ .

$2 - 2$

Etapa 4.8.3.6

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 4.8.4

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Etapa 4.8.5

Divida $4 x^{3} + 3 x - 2$ por $2 x - 1$ .

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Etapa 4.8.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Etapa 4.8.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Etapa 4.8.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 4.8.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 4.8.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Etapa 4.8.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 4.8.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 4.8.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Etapa 4.8.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Etapa 4.8.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Etapa 4.8.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Etapa 4.8.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Etapa 4.8.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Etapa 4.8.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x - 2$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Etapa 4.8.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Etapa 4.8.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + x + 2$

Etapa 4.8.6

Escreva $4 x^{3} + 3 x - 2$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 4.9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Etapa 4.10

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.10.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 4.10.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.10.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 4.10.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 4.11

Defina $2 x^{2} + x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.11.1

Defina $2 x^{2} + x + 2$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Etapa 4.11.2

Resolva $2 x^{2} + x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.11.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.11.2.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 1$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.11.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.11.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 4.11.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11.2.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11.2.3.1.4

Reescreva $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Etapa 4.11.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Etapa 4.12

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$