Álgebra Exemplos

$3^{x + 1} + 3^{3 - x} = 30$

Etapa 1

Reescreva $3^{x + 1}$ como $3^{x} \cdot 3^{1}$ .

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3 - x} = 30$

Etapa 2

Reescreva $3^{3 - x}$ como $3^{3} \cdot 3^{- x}$ .

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3} \cdot 3^{- x} = 30$

Etapa 3

Reescreva $3^{- x}$ como exponenciação.

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3} \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 30$

Etapa 4

Substitua $u$ por $3^{x}$ .

$u \cdot 3 + 3^{3} \cdot u^{- 1} = 30$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$3 \cdot u + 3^{3} \cdot u^{- 1} = 30$

Etapa 5.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$3 u + 27 \cdot u^{- 1} = 30$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 u + 27 \cdot \frac{1}{u} = 30$

Etapa 5.4

Combine $27$ e $\frac{1}{u}$ .

$3 u + \frac{27}{u} = 30$

Etapa 6

Resolva $u$ .

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Etapa 6.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 6.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 6.2

Multiplique cada termo em $3 u + \frac{27}{u} = 30$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.2.1

Multiplique cada termo em $3 u + \frac{27}{u} = 30$ por $u$ .

$3 u \cdot u + \frac{27}{u} u = 30 u$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Mova $u$ .

$3 (u \cdot u) + \frac{27}{u} u = 30 u$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$3 u^{2} + \frac{27}{u} u = 30 u$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 u^{2} + \frac{27}{u} u = 30 u$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$3 u^{2} + 27 = 30 u$

Etapa 6.3

Resolva a equação.

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Etapa 6.3.1

Subtraia $30 u$ dos dois lados da equação.

$3 u^{2} + 27 - 30 u = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Fatore $3$ de $3 u^{2} + 27 - 30 u$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Fatore $3$ de $3 u^{2}$ .

$3 (u^{2}) + 27 - 30 u = 0$

Etapa 6.3.2.1.2

Fatore $3$ de $27$ .

$3 u^{2} + 3 \cdot 9 - 30 u = 0$

Etapa 6.3.2.1.3

Fatore $3$ de $- 30 u$ .

$3 u^{2} + 3 \cdot 9 + 3 (- 10 u) = 0$

Etapa 6.3.2.1.4

Fatore $3$ de $3 u^{2} + 3 \cdot 9$ .

$3 (u^{2} + 9) + 3 (- 10 u) = 0$

Etapa 6.3.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (u^{2} + 9) + 3 (- 10 u)$ .

$3 (u^{2} + 9 - 10 u) = 0$

Etapa 6.3.2.2

Fatore.

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Etapa 6.3.2.2.1

Fatore $u^{2} + 9 - 10 u$ usando o método AC.

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Etapa 6.3.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $9$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 9, - 1$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((u - 9) (u - 1)) = 0$

Etapa 6.3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (u - 9) (u - 1) = 0$

Etapa 6.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 6.3.4

Defina $u - 9$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.3.4.1

Defina $u - 9$ como igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Etapa 6.3.4.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$u = 9$

Etapa 6.3.5

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.3.5.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 6.3.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 6.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (u - 9) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 9, 1$

Etapa 7

Substitua $9$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$9 = 3^{x}$

Etapa 8

Resolva $9 = 3^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 9$ .

$3^{x} = 9$

Etapa 8.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{x} = 3^{2}$

Etapa 8.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 2$

Etapa 9

Substitua $1$ por $u$ em $u = 3^{x}$ .

$1 = 3^{x}$

Etapa 10

Resolva $1 = 3^{x}$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $3^{x} = 1$ .

$3^{x} = 1$

Etapa 10.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Etapa 10.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 10.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Etapa 10.5

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 10.5.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 10.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 10.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 10.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.5.3.1

Divida $0$ por $\ln (3)$ .

$x = 0$

Etapa 11

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = 2, 0$