Álgebra Exemplos

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} = 0$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

${(x + 1)}^{2}, {(x - 1)}^{2}, (x + 1) (x - 1), 1$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

Os fatores de $x + 1$ são $(x + 1) \cdot (x + 1)$ , que é $x + 1$ multiplicado por si mesmo por $2$ vezes.

$(x + 1) = (x + 1) \cdot (x + 1)$

$(x + 1)$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.6

Os fatores de $x - 1$ são $(x - 1) \cdot (x - 1)$ , que é $x - 1$ multiplicado por si mesmo por $2$ vezes.

$(x - 1) = (x - 1) \cdot (x - 1)$

$(x - 1)$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.7

O fator de $x + 1$ é o próprio $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $x - 1$ é o próprio $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de ${(x + 1)}^{2}, {(x - 1)}^{2}, x + 1, x - 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$ por ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$ por ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Fatore ${(x + 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} ({(x - 1)}^{2})) - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

Etapa 3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ para o numerador.

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.2.2

Fatore ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $(x + 1) (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + (x + 1) (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.4

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x (x - 1) + 1 (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + x - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5.2

Some $- x$ e $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} + 0 - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.2.1.5.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique $0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $0$ por ${(x - 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0$

Etapa 4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reagrupe os termos.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $- 1$ de $- {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- {(x + 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) + x^{2} - 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2

Fatore $- 1$ de $x^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2}) - 1 = 0$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.4

Fatore $- 1$ de $- ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2})$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2} - x^{2}) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.5

Fatore $- 1$ de $- ({(x + 1)}^{2} - x^{2}) - 1 (1)$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2} - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.3

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - ((x + 1) (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.4

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x (x + 1) + 1 (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.5.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.5.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + x + 1 - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $x$ e $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 1) = 0$

Etapa 4.1.6

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 1 + 0 + 1) = 0$

Etapa 4.1.7

Some $2 x$ e $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 1 + 1) = 0$

Etapa 4.1.8

Some $1$ e $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 2) = 0$

Etapa 4.1.9

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.1

Fatore $2$ de $2 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x) + 2) = 0$

Etapa 4.1.9.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x) + 2 (1)) = 0$

Etapa 4.1.9.1.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 {(x - 1)}^{2} - 1 \cdot (2 (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 2 (x + 1) = 0$

Etapa 4.1.11

Fatore $2$ de $4 {(x - 1)}^{2} - 2 (x + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.11.1

Fatore $2$ de $4 {(x - 1)}^{2}$ .

$2 (2 {(x - 1)}^{2}) - 2 (x + 1) = 0$

Etapa 4.1.11.2

Fatore $2$ de $- 2 (x + 1)$ .

$2 (2 {(x - 1)}^{2}) + 2 (- (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.11.3

Fatore $2$ de $2 (2 {(x - 1)}^{2}) + 2 (- (x + 1))$ .

$2 (2 {(x - 1)}^{2} - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.12

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 (2 ((x - 1) (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.13

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.14

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 (2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.14.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$2 (2 (x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.14.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 (2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.14.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 (2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.14.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (2 (x^{2} - x - x + 1) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.14.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$2 (2 (x^{2} - 2 x + 1) - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.15

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.16.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.16.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - (x + 1)) = 0$

Etapa 4.1.17

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - x - 1 \cdot 1) = 0$

Etapa 4.1.18

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - x - 1) = 0$

Etapa 4.1.19

Subtraia $x$ de $- 4 x$ .

$2 (2 x^{2} - 5 x + 2 - 1) = 0$

Etapa 4.1.20

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 5 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{2} - 5 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $2 x^{2} - 5 x + 1$ por $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 5$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.3

Subtraia $8$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

Forma decimal:

$x = 2.28077640 \dots, 0.21922359 \dots$