Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 36} \geq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} + 36 = 0$

Etapa 2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 6

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 36$

Etapa 7

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Etapa 8

Simplifique $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Etapa 8.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (36)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Etapa 8.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Etapa 8.4

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Etapa 8.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 6$

Etapa 8.6

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 6 i$

Etapa 9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 6 i$

Etapa 9.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 6 i$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 6 i, - 6 i$

Etapa 10

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2, - 2$

$x = 6 i, - 6 i$

Etapa 11

Consolide as soluções.

$x = 2, - 2$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 4}{{(- 4)}^{2} + 36} \geq 0$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{230769}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 4}{{(0)}^{2} + 36} \geq 0$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{1}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} - 4}{{(4)}^{2} + 36} \geq 0$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{230769}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 2$ ou $x \geq 2$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 2 or x \geq 2$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Etapa 16