Álgebra Exemplos

$12 e^{2 x} - 5 = 17 e^{x}$

Etapa 1

Subtraia $17 e^{x}$ dos dois lados da equação.

$12 e^{2 x} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Etapa 2

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

$12 {(e^{x})}^{2} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$12 u^{2} - 5 - 17 u = 0$

Etapa 4

Mova $- 5$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Etapa 5

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ e cuja soma é $b = - 17$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $- 17$ de $- 17 u$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $- 17$ como $3$ mais $- 20$

$12 u^{2} + (3 - 20) u - 5 = 0$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 u^{2} + 3 u - 20 u - 5 = 0$

Etapa 5.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(12 u^{2} + 3 u) - 20 u - 5 = 0$

Etapa 5.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 u (4 u + 1) - 5 (4 u + 1) = 0$

Etapa 5.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u - 5 = 0$

Etapa 5.3

Defina $4 u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.3.1

Defina $4 u + 1$ como igual a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $4 u + 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 u = - 1$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $4 u = - 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 u = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{4}$

Etapa 5.4

Defina $3 u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $3 u - 5$ como igual a $0$ .

$3 u - 5 = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $3 u - 5 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 u = 5$

Etapa 5.4.2.2

Divida cada termo em $3 u = 5$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 u = 5$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 5.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 5.4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{5}{3}$

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam $(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$ verdadeiro.

$u = - \frac{1}{4}, \frac{5}{3}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{1}{4}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- \frac{1}{4} = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $- \frac{1}{4} = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - \frac{1}{4}$ .

$e^{x} = - \frac{1}{4}$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{4})$

Etapa 7.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- \frac{1}{4})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 7.4

Não há uma solução para $e^{x} = - \frac{1}{4}$

Nenhuma solução

Etapa 8

Substitua $\frac{5}{3}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{5}{3} = e^{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{5}{3} = e^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{5}{3}$ .

$e^{x} = \frac{5}{3}$

Etapa 9.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5}{3})$

Etapa 9.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5}{3})$

Etapa 9.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5}{3})$

Etapa 9.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Forma decimal:

$x = 0.51082562 \dots$