Álgebra Exemplos

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 8} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 2^{3}} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 1.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 2) (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5.2.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 5.3

Subtraia $6 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 6

Para escrever $\frac{1}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} - 10 x + 4 + x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 4 + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.2

Some $- 10 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 4 + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.3

Some $4$ e $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.4.2

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.4.3

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.4.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.4.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 8.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 8.5.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 8.5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

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Etapa 9.1

Fatore $x - 2$ de $2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} + 2 x + 4}$