Álgebra Exemplos

$x^{7} + x^{4} + x^{3} + 1 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{7} + x^{4}) + x^{3} + 1 = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{4} (x^{3} + 1) + 1 (x^{3} + 1) = 0$

Etapa 1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (x^{4} + 1) = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$(x^{3} + 1^{3}) (x^{4} + 1) = 0$

Etapa 1.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{4} + 1) = 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) (x^{4} + 1) = 0$

Etapa 1.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{4} + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} - x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

Defina $x^{4} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x^{4} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{4} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{4} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{4} = - 1$

Etapa 5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$