Álgebra Exemplos

$\cos (θ) + \sin (θ) \cdot \tan (θ) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Etapa 1.1.2

Multiplique $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Etapa 1.1.2.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Etapa 1.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} = 2$

Etapa 1.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}) = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 4

Multiplique $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 4.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 4.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 4.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 6

Reorganize os termos.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 = \cos (θ) \cdot 2$

Etapa 8

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (θ)$ .

$1 = 2 \cos (θ)$

Etapa 9

Reescreva a equação como $2 \cos (θ) = 1$ .

$2 \cos (θ) = 1$

Etapa 10

Divida cada termo em $2 \cos (θ) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Divida cada termo em $2 \cos (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.1.2

Divida $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 11

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 12

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 13

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 14

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 14.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 14.2

Combine frações.

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Etapa 14.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 14.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 14.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 14.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Etapa 15

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 15.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 15.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 15.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 15.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 16

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$