Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.3

Combine $- 2$ e $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Expanda $(x - 5) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $5 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.6

Some $- 3 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.7

Subtraia $2$ de $- 10$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

Etapa 2.5.8

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.5.8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 2.5.8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 4

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 7

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 4, - 3, 1$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - x = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $6.\overline{285714}$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 10$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $- 1.6$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $1 < x \leq 4$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

Etapa 15